(ENEM 2023) Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reto com 36 cm de altura e diâmetro da base medindo 18 cm. Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede 6 cm, obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.
Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reto, de diâmetro 6 cm, cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.
O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume.
Utilize 3 como aproximação para π.
Qual é a massa, em grama, dessa escultura?
A 1 198,8
B 1 296,0
C 1 360,8
D 4 665,6
E 4 860,0
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
Vamos começar calculando o volume do cone original inteiro.
Você lembra como que calcula o volume de um cone?
É assim:
$$Volume = \frac{\text{Área da base} \times altura}{3}$$
Vamos lá! Sua vez de calcular o volume do cone original inteiro.
Resolução da Dica 1
A base do cone é um círculo de diâmetro 18 cm.
A gente precisa calcular a área dessa base circular.
Bom, se o diâmetro é 18 cm, o raio do círculo é metade disso, ou seja, 9 cm.
Para calcular a área desse círculo, a gente pode usar a fórmula:
$$Área = \pi . r^2$$
Área = π . r2
= π . 92
= π . 81
O enunciado diz que a gente pode utilizar 3 como aproximação para π.
Então:
Área = π . 81 = 3 . 81 = 243 cm2
Beleza! Encontramos a área da base! Agora, a gente pode aplicar a fórmula do volume do cone.
\(Volume = \frac{\text{Área da base} \times altura}{3}\)
= \(\frac{243 \times altura}{3}\)
= \(\frac{243 \times 36}{3}\)
= \(243 \times 12\)
= 2916 cm3
O volume do cone inteiro é de 2916 cm3.
Dica 2
O próximo passo é você calcular o volume do cone menor
O enunciado diz que a base do cone menor tem diâmetro de 6 cm.
Para calcular o volume do cone menor, antes a gente precisa descobrir a sua altura.
Vamos lá, calcule a altura do cone menor.
Resolução da Dica 2
Você consegue ver dois triângulos semelhantes na figura acima (em vermelho)?
Vamos usar essa semelhança de triângulos para calcular a altura do cone pequeno.
$$\frac{\text{base do triângulo grande}}{\text{base do triângulo pequeno}} = \frac{\text{altura do triângulo grande}}{\text{altura do triângulo pequeno}}$$
$$\frac{18}{6} = \frac{36}{\text{altura do triângulo pequeno}}$$
$$3 = \frac{36}{\text{altura do triângulo pequeno}}$$
$$3 \times \text{altura do triângulo pequeno} = 36$$
$$\text{altura do triângulo pequeno} = \frac{36}{3}$$
$$\text{altura do triângulo pequeno} = 12$$
A altura do triângulo pequeno é o mesmo que a altura do cone pequeno. Ambos medem 12 cm.
Dica 3
Calcule o volume do cone pequeno.
Resolução da Dica 3
Para calcular o volume do cone, precisamos antes saber qual é a área da base circular.
A base circular tem diâmetro 6 cm. Logo, o raio é metade disso, ou seja, 3 cm.
A área da base circular é:
Área = π . r2
= π . 32
= π . 9
Substituindo π por 3, temos:
Área = π . 9 = 3 . 9 = 27 cm2
A área da base circular é de 27 cm2.
Agora vamos calcular o volume do cone.
\(Volume = \frac{\text{Área da base} \times altura}{3}\)
= \(\frac{27 \times altura}{3}\)
= \(\frac{27 \times 12}{3}\)
= \(9 \times 12\)
= 108 cm3
O volume do cone pequeno é de 108 cm3
Dica 4
Calcule o volume do tronco de cone.
Resolução da Dica 4
Basta a gente pegar o volume do cone grande e subtrair o volume do cone pequeno.
Volume do tronco de cone = Volume do cone grande – Volume do cone pequeno
= 2916 – 108 = 2808 cm3
O tronco de cone tem volume de 2808 cm3.
Dica 5
A figura do enunciado mostra um cilindro dentro do tronco de cone.
Precisamos calcular o volume desse cilindro. O enunciado nos forneceu o diâmetro da base (6 cm).
Agora, precisamos também saber qual é a altura desse cilindro.
Sua vez de calcular isso!
Resolução da Dica 5
Sabemos que a altura do cone pequeno é de 12 cm.
Então a altura do tronco de cone é 36 – 12 = 24 cm.
O cilindro tem a mesma altura que o tronco de cone (24 cm)
Dica 6
O cilindro tem diâmetro da base 6 cm e altura 24 cm.
Calcule o volume do cilindro.
Resolução da Dica 6
A base do cilindro é um círculo de diâmetro 6 cm.
Então o raio é metade disso, 3 cm.
A área da base circular do cilindro é:
Área = π . r2
= π . 32
= π . 9
Assumindo que π vale 3,
Área = π . 9
= 3 . 9 = 27 cm2
O volume do cilindro é:
Volume = Área da base × altura
= 27 × altura
= 27 × 24 = 648 cm2
O volume do cilindro é 648 cm2.
Dica 7
Calcule o volume do tronco de cone com o cilindro removido.
Resolução da Dica 7
Basta a gente pegar o volume do tronco de cone e subtrair o volume do cilindro.
V = 2808 – 648 = 2160 cm3
O volume da escultura é de 2160 cm3.
Dica 8
Veja esse trecho do enunciado:
essa escultura tem massa igual a 0,6 g por centímetro cúbico de volume.
Calcule a massa dessa escultura.
Resolução da Dica 8
O enunciado diz que 1 cm3 da escultura tem massa de 0,6 g.
Calculamos que a escultura tem volume de 2160 cm3. Então, a massa da escultura é:
2160 × 0,6 = 1296 g
A escultura tem massa de 1296 g.
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Resposta
Alternativa B
Essa questão é de nível difícil
Agora, vou te dar uma dica importante: A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Então, se você não resolveu por conta própria essa questão, faça o seguinte agora: Pegue um lápis e papel, e tente resolver novamente a questão, só que dessa vez por conta própria. Refaça o exercício do começo ao fim sem consultar nada.
Você deve ter o seguinte em mente: “Se essa questão aparece na minha prova do Enem, eu tenho que conseguir resolver ela totalmente por conta própria.”
Adote essa prática para todos os exercícios aqui do site. Isso vai te ajudar a progredir muito mais rápido em matemática.
Como foi a sua experiência?
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