(ENEM 2022 PPL) Uma indústria de sucos utiliza uma embalagem no formato de prisma reto de base quadrada, com aresta da base de medida a e altura de medida h, ambas de mesma unidade de medida, como representado na figura.
Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.
A altura da nova embalagem será igual a \(\frac{4}{3}\) da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x.
Qual a relação de dependência entre a medida x da nova aresta da base e a medida a da aresta atual?
A) \(x = a\)
B) \(x = 3a\)
C) \(x = 9a\)
D) \(x = \frac{3a}{2}\)
E) \(x = a\sqrt{3}\)
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
Para começar a questão, calcule o volume da embalagem original.
Vamos lá, qual o volume dessa embalagem?
Resolução da Dica 1
Para calcular o volume, basta a gente multiplicar as três dimensões da figura.
\(V = h.a.a = h.a^2\)
Beleza! Encontramos que o volume da embalagem original é h.a2
Dica 2
O enunciado fala sobre uma nova embalagem. No enunciado tem as seguintes informações.
A altura da nova embalagem será igual a \(\frac{4}{3}\) da altura da embalagem atual. As arestas da base da nova embalagem serão denominadas de x.
Na embalagem atual, a altura mede h. Na nova embalagem, a altura será \(\frac{4}{3}\) desse valor. Ou seja, a altura da nova embalagem será de \(\frac{4}{3}h\).
Então, essas são as medidas da nova embalagem.
Com base nessas medidas, calcule o volume da nova embalagem.
Resolução da Dica 2
Para calcular o volume, basta a gente multiplicar as três dimensões.
\(V = \frac{4}{3}h.x.x\) = \(\frac{4}{3}.h.x^2\)
Então, o volume da nova embalagem é de \(\boldsymbol{\frac{4}{3}.h.x^2}\)
Dica 3
Veja a seguinte frase do enunciado:
Deseja-se criar uma linha de produção para uma nova embalagem de igual formato, mas que deverá ter uma capacidade igual ao triplo da atual.
Com base nessa informação, tente montar uma equação relacionando o volume da embalagem nova com o volume da embalagem atual.
Resolução da Dica 3
Calculamos que a embalagem atual tem volume
$$V_{\text{embalagem atual}} = h.a^2$$
Vimos que a embalagem nova tem volume
$$V_{\text{embalagem nova}} =\frac{4}{3}.h.x^2$$
Além disso, o enunciado diz que a embalagem nova tem volume igual ao triplo da atual. Então podemos montar a equação:
$$V_{\text{embalagem nova}} = 3.V_{\text{embalagem atual}}$$
Substituindo os valores que calculamos nas dicas anteriores:
$$\frac{4}{3}.h.x^2 = 3. h.a^2$$
Agora é a sua vez de continuar! Nessa equação, isole o valor de x.
Dica 4
\(\frac{4}{3}.h.x^2 = 3. h.a^2\)
\(\iff \frac{4}{3}.x^2 = 3.a^2\)
\(\iff x^2 = \frac{3}{4}. 3.a^2\)
\(\iff x^2 = \frac{3.3}{4}.a^2\)
\(\iff x^2 = \frac{9}{4}.a^2\)
Agora, temos uma equação de segundo grau em x. Então, temos duas raízes.
Posso te perguntar quais são as duas raízes?
Resolução da Dica 4
As raízes são:
\(x = \sqrt{\frac{9}{4}.a^2}\) e \(x = – \sqrt{\frac{9}{4}.a^2}\)
As duas raízes são muito parecidas, uma é positiva e a outra é negativa.
Mas, como x é o tamanho de um lado da embalagem, x não pode ser negativo. Então a gente descarta a raiz negativa.
\(x = \sqrt{\frac{9}{4}.a^2}\)
\(\iff x = \sqrt{\frac{9}{4}}.\sqrt{a^2}\)
\(\iff x = \sqrt{\frac{3^2}{2^2}}.\sqrt{a^2}\)
\(\iff x = \frac{3}{2}.a\)
\(\iff x = \frac{3a}{2}\)
Beleza, chegamos na resposta! \(\boldsymbol{x = \frac{3a}{2}}\)
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Resposta
Alternativa D
Essa questão é de nível médio
