(ENEM 2023 PPL) Segundo regras da Fifa, em um campo de futebol, a área penal é a região limitada pelo retângulo ABCD, indicado na figura, cujo lado AB mede, aproximadamente, 16 m. O ponto penal P, equidistante dos lados AB e CD, fica localizado a 11 m do lado AD. O arco de circunferência, exterior à região penal, tem centro em P, e o raio mede, aproximadamente, 9 m.
De acordo com as medidas especificadas no texto e na figura, a distância EF entre as extremidades do arco de círculo é
A inferior a 7 m.
B superior a 7 m e inferior a 14 m.
C superior a 14 m e inferior a 19 m.
D superior a 19 m e inferior a 23 m.
E superior a 23 m.
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
Para começar, marque na figura as dimensões fornecidas pelo enunciado.
Resolução da Dica 1
Dica 2
Na figura abaixo está traçado em roxo um segmento ligando o ponto P ao segmento EF.
Calcule a medida desse segmento.
Resolução da Dica 2
O enunciado nos diz que o segmento AB mede 16.
Então, se juntarmos o segmento azul claro e o segmento roxo, também obtemos 16.
O segmento azul claro mede 11. Quanto mede o segmento roxo? Podemos montar uma equação.
11 + segmento roxo = 16
segmento roxo = 16 – 11 = 5
O segmento roxo mede 5 cm.
Dica 3
Vamos olhar a figura com mais detalhe.
Você reparou uma coisa? Nós temos dois triângulos retângulos. Os dois triângulos são iguais, mas cada um está virado para um lado.
Nesses triângulos, um cateto mede 5 e a hipotenusa mede 9.
Quanto que mede o outro cateto dos triângulos? Bom, a gente não sabe, vamos dizer que eles medem x.
Agora é a sua vez de continuar! Calcule o valor de x.
Resolução da Dica 3
Podemos usar o teorema de Pitágoras.
Pitágoras
cateto2 + cateto2 = hipotenusa2
Nos triângulos da imagem, um cateto mede 5, o outro cateto mede x e a hipotenusa mede 9.
52 + x2 = 92
25 + x2 = 81
x2 = 81 – 25
x2 = 56
x = \(\sqrt{56}\)
Dica 4
Calculamos que x mede \(\sqrt{56}\). Quanto mede EF?
Resolução da Dica 4
Pela figura, a gente vê que EF é formado pelos dois segmentos de tamanho x
Então EF mede x + x = 2x.
Como já calculamos que x é \(\sqrt{56}\), concluímos que EF mede 2\(\sqrt{56}\).
Dica 5
Você tem uma ideia de quanto vale \(\sqrt{56}\)?
Bom, vamos pensar juntos?
72 = 49, então \(\sqrt{49}\) = 7
Bom, \(\sqrt{56}\) é maior que \(\sqrt{49}\), logo \(\sqrt{56}\) é maior que 7.
Agora, e quanto vale 82?
82 = 64, logo \(\sqrt{64}\) = 8
Ah, então a gente conclui que \(\sqrt{56}\) é menor que 8.
Com essas informações, agora é a sua vez de finalizar a questão!
Resolução da Dica 5
Vimos que:
7 < \(\sqrt{56}\) < 8
O segmento EF mede 2\(\sqrt{56}\). Então, nessa inequação acima, vamos multiplicar todos os termos por 2.
2.7 < 2.\(\sqrt{56}\) < 2.8
14 < 2.\(\sqrt{56}\) < 16
Sabemos que 2\(\sqrt{56}\) é EF. Assim:
14 < EF < 16
Das alternativas do enunciado, a que se encaixa é a:
“superior a 14 m e inferior a 19 m.”
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Resposta
Alternativa C
Essa questão é de nível difícil.
Agora, vou te dar uma dica importante: A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Então, se você não resolveu por conta própria essa questão, faça o seguinte agora: Pegue um lápis e papel, e tente resolver novamente a questão, só que dessa vez por conta própria. Refaça o exercício do começo ao fim sem consultar nada.
Você deve ter o seguinte em mente: “Se essa questão aparece na minha prova do Enem, eu tenho que conseguir resolver ela totalmente por conta própria.”
Adote essa prática para todos os exercícios aqui do site. Isso vai te ajudar a progredir muito mais rápido em matemática.
Como foi a sua experiência?
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