(ENEM 2022 PPL) Uma empresa de publicidade está criando um logotipo que tem o formato indicado na figura. O círculo menor está inscrito no quadrado ABCD, e o círculo maior circunscreve o mesmo quadrado. Considere S1 a área do círculo menor e S2 a área do círculo maior.
A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a
A \(\sqrt{2}\)
B \(\frac{1}{2}\)
C 2
D 8
E 16
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
O enunciado pede as áreas do círculo menor e do círculo maior.
Você lembra da fórmula para área do círculo? É assim:
$$A_{\text{círculo}} = \pi . r^2$$
Então, para obtermos as áreas dos círculos, temos que começar descobrindo quais são os raios dos círculos.
Agora é a sua vez! Tente calcular os raios dos círculos.
Dica 2
Agora vou te dar uma dica legal.
Na figura do enunciado há um quadrado. Quanto mede o lado do quadrado?
Bom, o enunciado não fala quanto mede o lado do quadrado. Então, para facilitar, vamos dizer que o lado do quadrado mede 1.
Agora, é a sua vez de continuar! Tente calcular quanto vale o raio de cada círculo.
Dica 3
Na figura abaixo está traçado o raio do círculo pequeno. Calcule quanto vale esse raio.
Resolução da Dica 3
Na figura abaixo, traçamos dois raios do círculo. Os dois raios juntos formam o diâmetro do círculo.
A gente percebe que o diâmetro mede exatamente o mesmo que o lado do quadrado, ou seja, o diâmetro mede 1. O raio é metade do diâmetro, então o raio mede \(\frac{1}{2}\).
Calculamos o raio do círculo pequeno! Agora é a sua vez de calcular o raio do círculo grande!
Dica 4
Na figura abaixo está traçado o raio do círculo grande em vermelho.
Calcule o tamanho desse raio. Vou te dar uma dica, você pode aplicar Pitágoras em um triângulo retângulo.
Dica 5
Na figura abaixo tem um triângulo retângulo (em vermelho). Aplique Pitágoras nele para calcular o raio R.
Resolução da Dica 5
Você lembra como era o Teorema de Pitágoras? É assim:
$$cateto^2 + cateto^2 = hipotenusa^2$$
No triângulo retângulo, um dos catetos é o raio do círculo pequeno. Já calculamos que esse raio vale \(\frac{1}{2}\).
O outro cateto, na vertical na figura, é metade do lado do quadrado. Então esse cateto também mede \(\frac{1}{2}\).
Então vamos aplicar Pitágoras!
$$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = R^2$$
$$\iff \frac{1^2}{2^2} + \frac{1^2}{2^2} = R^2$$
$$\iff \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = R^2$$
$$\iff \frac{2}{4} = R^2$$
$$\iff \frac{1}{2} = R^2$$
$$\iff R = \sqrt{\frac{1}{2}}$$
Calculamos o raio do círculo grande! \(R= \sqrt{\frac{1}{2}}\)
Agora é a sua vez de continuar! Calcule as áreas do círculo grande e do círculo pequeno.
Dica 6
O círculo grande tem raio \(\sqrt{\frac{1}{2}}\). O cículo pequeno tem raio \(\frac{1}{2}\).
Vamos calcular as áreas dos dois círculos usando a fórmula:
$$A_{\text{círculo}} = \pi . r^2$$
Círculo grande
\(A = \pi . R^2\)
\(\iff A = \pi . \left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)^2\)
\(\iff A = \pi. \frac{1}{2}\)
Círculo pequeno
\(A = \pi. r^2\)
\(\iff A = \pi . \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\iff A = \pi .\frac{1^2}{2^2}\)
\(\iff A = \pi . \frac{1}{4}\)
Calculamos! A área do círculo grande vale \(\pi. \frac{1}{2}\) e a área do círculo pequeno vale \(\pi . \frac{1}{4}\).
Você se lembra de qual é a pergunta do enunciado?
A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a
Então vamos lá! Agora é a sua vez de concluir a questão!
Conclusão
Para calcular a razão, basta a gente dividir uma área pela outra.
\(\frac{\pi. \frac{1}{2}}{\pi . \frac{1}{4}}\) = \( \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} \) = \( \frac{1}{2} . \frac{4}{1} \)
= \( \frac{1.4}{2.1} \) = \( 2 \)
Terminamos a questão! A razão da área do círculo maior para o círculo menor é igual a 2
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Resposta
Alternativa C
Essa questão é de nível difícil.
