ENEM 2022 PPL – Para tornar uma pista de automobilismo mais segura

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

Pretende-se que a nova pista tenha extensão mais próxima que a da original após duas modificações. Os trechos em comum da pista original e da nova pista não serão alterados.

Utilize 3 como aproximação para π.

Para atender às condições apresentadas, quais setores deverão ser modificados?

A I e V
B II e III
C II e V
D III e IV
E IV e V

Dicas e Resolução

Veja a dica abaixo e depois tente continuar resolvendo a questão por conta própria. A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.

Dica 1

Vamos analisar cada um dos cinco setores. Começando pelo setor I.

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

Na nova pista, o carro já vira no traçado vertical em pontilhado. Enquanto que na pista antiga, o carro passa pelo trecho em vermelho, vira no segmento vertical e depois pega outro trecho vermelho.

Agora vou te perguntar. Qual o caminho mais curto, o novo ou o antigo? Quão mais curto é esse caminho?

Resolução da Dica 1

O caminho novo é o mais curto, pois o carro já vira no traçado pontilhado, enquanto que no caminho antigo, ele percorre alguns trechos a mais.

Tanto no caminho novo quanto no antigo, o carro tem que percorrer um segmento na vertical. Mas, no caminho antigo, ele também tem que percorrer os dois trechos em vermelho.

Cada trecho em vermelho tem 50 m. Então os dois trechos somam 100 m.

Conclusão: No setor I o caminho novo é 100 m mais curto, pois nele o piloto não precisa percorrer os trechos em vermelho.

Dica 2

Vamos analisar o setor II

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

Na pista antiga, o piloto percorre um trecho de 300 m e outro de 400 m, totalizando 700 m.

Na pista nova, ele percorre o traçado em pontilhado. Você consegue calcular quanto mede o traçado em pontilhado?

Resolução da Dica 2

Note que na figura, temos um triângulo retângulo, e o traçado em pontilhado é a hipotenusa.

Então, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.

cateto2 + cateto2 = hipotenusa2

No nosso triângulo os catetos medem 300 m e 400 m. Então vamos substituir na fórmula.

3002 + 4002 = hipotenusa2

90000 + 160000 = hipotenusa2

250000 = hipotenusa2

Qual número ao quadrado dá 250000?

Bom, a raiz quadrada de 25 é 5.

E 250000 é 25 seguido de quatro zeros.

Então, a raiz quadrada de 250000 é o número 5 seguido de dois zeros, ou seja 500.

Legal, a hipotenusa vale 500 m.

O caminho novo mede 500 m. O caminho antigo mede 700 m. Então, no setor II, o traçado novo mede 200 m a menos que o antigo.

Dica 3

Agora vamos analisar o setor III.

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

O traçado em pontilhado é a metade de uma circunferência. Além disso, pela imagem, podemos ver que o diâmetro da circunferência mede 480 m.

Calcule quanto mede o traçado em pontilhado.

Resolução da Dica 3

Você se lembra de como se calcula o comprimento da volta de uma circunferência? É assim:

Comprimento da circunferência = 2πr

Bom, o traçado do setor III é a metade de uma circunferência. Então, vamos primeiro calcular a medida da circunferência e depois a gente divide esse valor por 2.

Além disso, se o diâmetro mede 480 m, então o raio é metade disso, ou seja, 240 m.

Comprimento da circunferência = 2πr = 2π.240 = 480π

O enunciado diz que podemos usar 3 como aproximação para π. Então:

Comprimento da circunferência = 480π = 480 . 3 = 1440 m

A circunferência inteira mede 1440 m, mas o traçado em pontilhado é apenas a metade de uma circunferência.

Então o traçado em pontilhado mede 1440 / 2 = 720 m.

Conclusão, o caminho novo mede 720 m (traçado em pontilhado) e o caminho antigo (traçado escuro) mede 480m.

Ou seja, no setor III, o caminho novo é 720 – 480 = 240 m mais longo

Dica 4

Agora vamos analisar o setor IV:

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

O caminho antigo é a metade de uma circunferência. Vemos pela figura que o diâmetro dessa circunferência mede 360 m.

Agora é a sua vez de continuar!

Calcule o comprimento dessa metade de circunferência.

Resolução da Dica 4

Bom, vamos usar a fórmula do comprimento de circunferência.

Comprimento da circunferência = 2πr

O raio é metade do diâmetro, ou seja, 360/2 = 180 m

Comprimento da circunferência = 2π.180 = 360π.

Aproximando π por 3:

Comprimento da circunferência = 2π.180 = 360π = 360 . 3 = 1080 m.

O traçado da figura é a metade de uma circunferência, então ele mede 1080/2 = 540 m.

Assim, o caminho antigo (traçado escuro) mede 540 m e o caminho novo mede (traçado pontilhado) 360 m.

Conclusão: no setor IV o traçado novo é 540 – 360 = 180 m mais curto.

Dica 5

Vamos analisar o setor V

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

Na imagem, nós temos um triângulo. Estão marcados dois ângulos de 60o. Qual é a medida do terceiro ângulo desse triângulo?

Resolução da Dica 5

Em um triângulo, a soma dos ângulos mede 180o.

Nesse triângulo, já temos dois ângulos de 60o, que somados dão 120o.

Quanto falta para completar 180o? Bom, faltam 180 – 120 = 60o. Ou seja, o terceiro ângulo também mede 60o.

Dica 6

Se os três ângulos do triângulo são iguais, então, ele é um triângulo equilátero?

Resolução da Dica 6

Sim, um triângulo com os três ângulo iguais é equilátero!

Então os três lados também são iguais! Na imagem, a gente vê que um dos lados mede 200 m. Logo, os outros dois também medem 200 m.

(ENEM 2022 PPL) Para tornar uma pista de automobilismo mais segura, foram solicitadas intervenções em seu traçado.

Os engenheiros contratados elaboraram um projeto com cinco possíveis modificações, destacadas nos setores (I), (II), (III), (IV) e (V) pelas linhas tracejadas, como mostra a figura. No entanto, na temporada atual, só é permitido que se façam duas dessas alterações.

Todos os trechos passíveis de modificação, tanto no traçado original quanto no novo traçado, são semicircunferências ou segmentos de reta.

Pela imagem, a gente vê que o traçado novo são dois segmentos de 200 m. Logo, o caminho novo mede 200 + 200 = 400 m. O caminho antigo mede 200 m.

Então, no setor V, o traçado novo é 400 – 200 = 200 m mais longo que o antigo.

Dica 7

Temos que escolher duas modificações na pista, de modo que o comprimento da nova pista seja o mais próximo possível da antiga.

Vamos analisar as alterações em cada um dos setores.

Setor IO caminho novo é 100 m mais curto que o antigo
Setor IIO caminho novo é 200 m mais curto que o antigo
Setor IIIO caminho novo é 240 m mais longo que o antigo
Setor IVO caminho novo é 180 m mais curto que o antigo
Setor VO caminho novo é 200 m mais longo que o antigo

Quais duas modificações você escolheria?

Resolução da Dica 7

No setor II, o traçado novo é 200 m mais curto. No setor V, o traçado novo é 200 m mais longo.

Se juntarmos essas duas mudanças, as duas se anulam.

Assim, com essas duas mudanças a pista nova fica exatamente do mesmo tamanho que a pista antiga.

Então os setores escolhidos devem ser o II e o V.

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Resposta

Alternativa C

Essa questão é de nível difícil

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