(ENEM 2022) Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela parábola \(y=-\frac{x^2}{6}-\frac{7x}{3}+12\), em que y representa a altura da bola em relação ao eixo x (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse jogador atinja a mesma altura do seu recorde.
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses ginásios, em relação aos pisos das quadras, são:
• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m.
O saque desse atleta foi invalidado
A apenas no ginásio I.
B apenas nos ginásios I e II.
C apenas nos ginásios I, II e III.
D apenas nos ginásios I, II, III e IV.
E em todos os ginásios.
Dicas e Resolução
Veja a dica abaixo e depois tente continuar resolvendo a questão por conta própria. A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Dica 1
O primeiro passo para resolver essa questão é calcular o valor máximo da parábola \(y=-\frac{x^2}{6}-\frac{7x}{3}+12\).
Você lembra como faz isso?
Para encontrar o valor máximo de uma parábola y = ax2 + bx + c, primeiro a gente calcula o Δ pela fórmula:
$$\Delta = b^2 – 4ac$$
Depois, a gente calcula o valor máximo pela fórmula:
$$\text{Valor máximo} = -\frac{\Delta}{4a}$$
Então, vamos lá, agora é a sua vez de continuar!
Resolução da Dica 1
Na parábola \(y=-\frac{x^2}{6}-\frac{7x}{3}+12\), temos que:
- a = \(-\frac{1}{6}\)
- b = \(-\frac{7}{3}\)
- c = 12
Agora, vamos calcular o Δ.
\(\Delta = b^2 – 4ac\)
= \(\left(-\frac{7}{3}\right)^2 – 4.\left(-\frac{1}{6}\right).12\)
= \(\left(-\frac{7}{3}\right).\left(-\frac{7}{3}\right) + 4.\left(\frac{1}{6}\right).12\)
= \(\frac{49}{9} + 4 \times 2\)
= \(\frac{49}{9} + 8\)
= \(\frac{49}{9} + \frac{72}{9}\) = \(\frac{121}{9}\)
Então, \(\Delta = \frac{121}{9}\). Agora, vamos calcular o valor máximo da parábola.
\(\text{Valor máximo} = -\frac{\Delta}{4a}\)
= \(-\frac{\frac{121}{9}}{4.\left(-\frac{1}{6}\right)}\)
= \(-\frac{\frac{121}{9}}{\frac{-4}{6}}\)
= \(\frac{\frac{121}{9}}{\frac{4}{6}}\)
= \(\frac{\frac{121}{9}}{\frac{2}{3}}\)
= \(\frac{121}{9}.\frac{3}{2}\)
= \(\frac{121}{3}.\frac{1}{2}\)
= \(\frac{121}{6} \simeq 20,17\)
Calculamos! O valor máximo da parábola é de aproximadamente 20,17 m.
Dica 2
Calculamos que o valor máximo da parábola é de aproximadamente 20,17 m. Ou seja, a bola chega a uma altura de 20,17 m acima do eixo x.
A bola chega a uma altura de 20,17 m acima do eixo x. Ao mesmo tempo, o eixo x está 1,5 m acima do piso da quadra.
Então, qual é a altura do ponto máximo da bola, em relação ao piso da quadra?
Resolução da Dica 2
Basta a gente somar 20,17 com 1,5
20,17 + 1,5 = 21,67 m
Então a bola chega a uma altura máxima de 21,67 m acima do piso da quadra.
O enunciado nos fornece as alturas dos tetos dos ginásios.
• ginásio I: 17 m;
• ginásio II: 18 m;
• ginásio III: 19 m;
• ginásio IV: 21 m;
• ginásio V: 40 m.
Os ginásios I, II, III e IV têm altura menor que 21,67. Então nesses casos, a bola toca o teto do ginásio e o saque é invalidado.
Resposta
Alternativa D
Essa questão é de nível difícil
ENEM 2022 – Resolução Comentada – Matemática
Prova Amarela
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Cinza
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Azul
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Rosa
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
