(ENEM 2020 PPL) Um vidraceiro precisa construir tampos de vidro com formatos diferentes, porém com medidas de áreas iguais. Para isso, pede a um amigo que o ajude a determinar uma fórmula para o cálculo do raio R de um tampo de vidro circular com área equivalente à de um tampo de vidro quadrado de lado L.
A fórmula correta é
A) \(R=\frac{L}{\sqrt{\pi}}\)
B) \(R=\frac{L}{\sqrt{2\pi}}\)
C) \(R=\frac{L^2}{2\pi}\)
D) \(R=\sqrt{\frac{2L}{\pi}}\)
E) \(R=2\sqrt{\frac{L}{\pi}}\)
Dicas e Resolução
Veja a primeira dica e tente continuar resolvendo a questão por conta própria. Depois, se precisar, veja também a segunda dica, e assim por diante.
Primeira Dica
Vamos começar relembrando como se calcula a área de um círculo de raio R.
Acírculo = π.R2
Além disso, vamos relembrar a área de um quadrado de lado L.
Aquadrado = L2
Nessa questão, a área do círculo e a área do quadrado devem ser iguais. Então temos:
π.R2 = L2
Agora é a sua vez de continuar. Isole o R na expressão acima, para chegar a uma das alternativa do enunciado.
Segunda Dica
π.R2 = L2
Vamos passar o π dividindo para o outro lado:
\(R^2 = \frac{L^2}{\pi}\)
Ao tirar a raiz quadrada, temos duas possibilidades:
\(R = \sqrt{\frac{L^2}{\pi}}\) ou \(R = -\sqrt{\frac{L^2}{\pi}}\)
Mas, como R é um tamanho, ele não pode ser negativo, então:
\(R = \sqrt{\frac{L^2}{\pi}}\)
Vamos lá, agora é a sua vez de continuar a questão!
Terceira Dica
Chegamos que \(R = \sqrt{\frac{L^2}{\pi}}\).
Como a gente faz para calcular a raiz quadrada de uma fração?
Ah, a gente pode usar aquela propriedade de raízes quadradas:
\(\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\)
Para tirar a raiz quadrada de uma fração, a gente faz a raiz do numerador dividido pela raiz do denominador.
Por exemplo:
\(\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}\), continuando a conta:
\(\sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \frac{5}{2}\)
Então, agora é a sua vez de continuar! Aplique essa propriedade na expressão que nós temos.
\(R = \sqrt{\frac{L^2}{\pi}}\)
Resolução da Terceira Dica e Conclusão
\(R = \sqrt{\frac{L^2}{\pi}} = \frac{\sqrt{L^2}}{\sqrt{\pi}}\)
Beleza! Agora, você está vendo que no numerador aparece \(\sqrt{L^2}\)? Quanto vale isso?
Bom, \(\sqrt{L^2} = L\).
Então, a gente pode concluir que
\(R = \frac{\sqrt{L^2}}{\sqrt{\pi}} = \frac{L}{\sqrt{\pi}}\)
Chegamos na fórmula pedida pelo enunciado!
\(R = \frac{L}{\sqrt{\pi}}\)
Resposta
Alternativa A
Comentários sobre a questão
Essa questão é de nível médio. Para resolver ela, utilizamos as fórmulas das áreas do círculo e do quadrado, e também tivemos que manusear algumas equações matemáticas.
É muito importante que você saiba manusear bem as equações matemáticas, pois essa é a chave para a resolução de muitas e muitas questões que já caíram no ENEM. Então, como um treino, refaça essa questão do início ao fim, mas sem consultar nada, totalmente por conta própria. Vamos lá!
E se você precisar de alguma ajuda, ou estiver com dúvidas em algum assunto ou questão, pode me procurar no Grupo Yes Matemática do WhatsApp. Eu (professor Henry) ficarei muito feliz em te ajudar!
ENEM 2020 Reaplicação/PPL – Resolução comentada – Matemática e suas Tecnologias
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