(ENEM 2023 PPL) Uma empresa produziu uma bola de chocolate, em formato esférico, para utilizar na decoração de sua loja. Essa bola tem 20 cm de diâmetro externo, sendo oca por dentro, e a medida da espessura entre as superfícies interna e externa corresponde a 1 cm. Considere que, na confecção dessa bola, foi utilizado um tipo de chocolate em que 1 g equivale a 0,75 cm³.
A quantidade de chocolate, em grama, utilizado na confecção dessa bola é
A) \(\frac{76 \pi}{3}\)
B) \(\frac{304 \pi}{9}\)
C) \(\frac{4336 \pi}{9}\)
D) \(\frac{4000 \pi}{3}\)
E) \(\frac{18256 \pi}{9}\)
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
O bombom é uma crosta de chocolate oca. A crosta de chocolate tem espessura de 1 cm.
A gente pode visualizar o bombom dessa maneira.
Como podemos calcular o volume de chocolate nesse bombom?
Resolução da Dica1
Você reparou numa coisa?
O bombom é uma esfera. Só que o bombom é oco. Então, dentro do bombom temos uma esfera de ar.
Então, para calcular o volume de chocolate a gente pode fazer o seguinte.
- Primeiro a gente calcula o volume da esfera inteira do bombom
- Depois a gente subtrai o volume da esfera de ar
- O que resta vai ser o volume da crosta de chocolate
Dica 2
Você se lembra como que a gente calcula o volume de uma esfera?
É assim:
V = \(\frac{4}{3}\pi.r^3\)
Vamos lá! Agora continue a resolução da questão!
Dica 3
Essa vai ser a nossa estratégia para resolver a questão.
- Primeiro a gente calcula o volume da esfera inteira do bombom
- Depois a gente subtrai o volume da esfera de ar
- O que resta vai ser o volume da crosta de chocolate
Então, agora calcule o volume da esfera inteira do bombom
Resolução da Dica 3
A esfera tem diâmetro de 20 cm. Então o raio é metade disso, ou seja, 10 cm.
Podemos calcular o volume dessa esfera usando a fórmula.
V = \(\frac{4}{3}\pi.r^3\)
= \(\frac{4}{3}\pi.10^3\)
= \(\frac{4}{3}\pi.1000\)
= \(\frac{4.1000}{3}\pi\)
= \(\frac{4000}{3}\pi\) cm3
O volume da esfera inteira do bombom é de \(\frac{4000}{3}\pi\) cm3
Dica 4
Agora vamos calcular o volume da esfera de ar dentro do bombom.
O raio da esfera do bombom mede 10 cm.
A espessura do chocolate mede 1 cm.
Quanto que mede o raio da esfera interna de ar?
Basta a gente fazer 10 – 1 = 9 cm.
Agora que sabemos que a esfera de ar tem raio 9 cm, você pode calcular o volume da esfera de ar!
Resolução da Dica 4
O volume da esfera de ar é
V = \(\frac{4}{3}\pi.r^3\)
= \(\frac{4}{3}\pi.9^3\)
= \(\frac{4}{3}\pi.9.9.9\)
= \(4\pi.\frac{9}{3}.9.9\)
= \(4.\pi . 3.9.9\)
= \(4.3.9.9.\pi\)
= \(12.9.9.\pi\)
= \(108.9.\pi\)
= \(972.\pi\)
A esfera de ar tem \(972\pi\) cm3.
Dica 5
Para calcular o volume da crosta de chocolate, basta pegarmos o volume da esfera inteira e subtrair o volume da esfera de ar.
Resolução da Dica 5
Volume da esfera do bombom inteiro: \(\frac{4000}{3}\pi\) cm3
Volume da esfera de ar: \(972.\pi\) cm3
Volume da crosta de chocolate:
\(\frac{4000}{3}\pi\) – \(972.\pi\)
Temos que colocar ambos os termos em denominador comum:
\(\frac{4000}{3}\pi\) – \(972.\pi\)
= \(\frac{4000}{3}\pi – \frac{972.3}{3}\pi\)
= \(\frac{4000}{3}\pi – \frac{2916}{3}\pi\)
= \(\frac{4000 – 2916}{3} \pi\)
= \(\frac{1084}{3}\pi\) cm3
O volume de chocolate é de \(\frac{1084}{3}\pi\) cm3
Dica 6
Calculamos que o volume de chocolate é de \(\frac{1084}{3}\pi\) cm3.
O enunciado diz que 1 g de chocolate equivale a 0,75 cm³
Calcule qual é a massa do chocolate em gramas.
Resolução da Dica 6
Vamos fazer uma regra de três
0,75 cm³ ~ 1 g
\(\frac{1084}{3}\pi\) cm3 ~ x g
0,75 . x = \(\frac{1084}{3}\pi\) . 1
0,75 . x = \(\frac{1084}{3}\pi\)
Podemos converter 0,75 para a fração \(\frac{75}{100}\)
\(\frac{75}{100}\).x = \(\frac{1084}{3}\pi\)
\(\frac{15}{20}\).x = \(\frac{1084}{3}\pi\)
\(\frac{3}{4}\).x = \(\frac{1084}{3}\pi\)
3.3.x = 1084.4.π
9x = 4336π
x = \(\frac{4336 \pi}{9}\)
A massa do chocolate é de \(\frac{4336 \pi}{9}\) gramas.
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Resposta
Alternativa C
Essa questão é de nível difícil
Agora, vou te dar uma dica importante: A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Então, se você não resolveu por conta própria essa questão, faça o seguinte agora: Pegue um lápis e papel, e tente resolver novamente a questão, só que dessa vez por conta própria. Refaça o exercício do começo ao fim sem consultar nada.
Você deve ter o seguinte em mente: “Se essa questão aparece na minha prova do Enem, eu tenho que conseguir resolver ela totalmente por conta própria.”
Adote essa prática para todos os exercícios aqui do site. Isso vai te ajudar a progredir muito mais rápido em matemática.
Como foi a sua experiência?
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