ENEM 2023 – Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos

Henry Comente!

(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

  • algarismos de 0 a 9;
  • 26 letras minúsculas do alfabeto;
  • 26 letras maiúsculas do alfabeto;
  • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

  • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
  • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
  • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

A tipo I, pois p1 < p2 < p3.
B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
C tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
D tipo III, pois p3 < p2 < p1.
E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Dicas e Resolução

IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.

Dica 1

Vamos começar analisando as senhas do tipo I:

  • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o A tipo I, pois p1 < p2 < p3. B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. C tipo II, pois tem maior quantidade de letras. D tipo III, pois p3 < p2 < p1. E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Para o primeiro caractere, quantas possibilidades de escolhas nós temos?

Resolução da Dica 1

Temos:

  • 10 possibilidades de escolha de algarismos
  • 26 possibilidades de escolha de letras minúsculas
  • 26 possibilidades de escolha de letras maiúsculas
  • 6 possibilidades de caracteres especiais

Então, o número de possibilidades para o primeiro caractere é:

10 + 26 + 26 + 6 = 68

(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o A tipo I, pois p1 < p2 < p3. B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. C tipo II, pois tem maior quantidade de letras. D tipo III, pois p3 < p2 < p1. E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Dica 2

Lembrando que os caracteres da senha devem ser distintos.

Quantas possibilidades de escolha temos para o 2o, 3o e 4o caracteres?

Resolução da Dica 2

2o caractere

A princípio, podemos escolher qualquer uma das 68 possibilidades.

Porém, não podemos utilizar o mesmo caractere que já usamos na primeira posição.

Então, na verdade temos 67 escolhas.

3o caractere

A princípio, podemos escolher qualquer uma das 68 possibilidades.

Mas, não podemos utilizar os caracteres já usados na 1a e 2a posições.

Assim, sobram 66 possibilidades.

4o caractere

A princípio, temos as 68 possibilidades de escolha.

Exceto os caracteres já usados na 1a, 2a e 3a posições.

Logo, sobram 65 possibilidades

(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o A tipo I, pois p1 < p2 < p3. B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. C tipo II, pois tem maior quantidade de letras. D tipo III, pois p3 < p2 < p1. E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Dica 3

Quantas senhas possíveis podemos formar, do tipo I?

Resolução da Dica 3

Basta fazermos a multiplicação:

68 . 67 . 66 . 65 = 19 545 240

Existem 19 545 240 senhas possíveis do tipo I.

Dica 4

Agora vamos analisar as senhas do tipo II.

  • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o A tipo I, pois p1 < p2 < p3. B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. C tipo II, pois tem maior quantidade de letras. D tipo III, pois p3 < p2 < p1. E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Calcule quantas possibilidades de escolha temos para cada um dos caracteres da senha.

Resolução da Dica 4

1o caractere

O 1o caractere é uma letra.

Então temos:

  • 26 possibilidades de escolha de letra minúscula
  • 26 possibilidades de escolha de letra maiúscula

No total temos 26 + 26 = 52 escolhas possíveis para a primeira letra.

2o caractere

O 2o caractere também é uma letra.

Mas o 2o caractere deve ser distinto do 1o caractere.

A princípio, temos 52 escolhas diferentes de letras.

Mas, não podemos repetir o mesmo caractere que já foi usado na 1a posição.

Então, temos 51 escolhas possíveis para o 2o caractere.

3o caractere

O 3o caractere é uma letra, distinta das que já foram utilizadas na 1a e 2a posições.

A princípio, temos 52 escolhas possíveis de letra. Mas, temos que eliminar as letras que já foram usadas na 1a e 2a posições.

Então, sobram 50 escolhas possíveis de letra para o 3o caractere.

4o caractere

O 4o caractere é um algarismo.

Temos 10 escolhas possíveis para o algarismo do 4o caractere.

5o caractere

O 5o caractere é um caractere especial

Temos 6 escolhas possíveis para o caractere especial na 5a posição.

(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o A tipo I, pois p1 < p2 < p3. B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. C tipo II, pois tem maior quantidade de letras. D tipo III, pois p3 < p2 < p1. E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Dica 5

Quantas senhas possíveis existem do tipo II?

Resolução da Dica 5

Basta fazer a multiplicação:

52 . 51 . 50 . 10 . 6 = 7 956 000

Existem 7 956 000 senhas possíveis do tipo II.

Dica 6

Vamos analisar as senhas do tipo III

  • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.
(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o A tipo I, pois p1 < p2 < p3. B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. C tipo II, pois tem maior quantidade de letras. D tipo III, pois p3 < p2 < p1. E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Quantas possibilidades de escolhas temos para cada caractere da senha?

Resolução da Dica 6

1o caractere

O 1o caractere é uma letra.

Então são 52 possibilidades de escolha de letra para o 1o caractere.

2o caractere

O 2o caractere é uma letra. Mas essa letra deve ser distinta da que já usamos na 1a posição.

Assim, temos 51 possibilidades de escolha para o 2o caractere.

3o caractere

O 3o caractere é um algarismo.

Então, temos 10 possibilidades de escolha para o 3o caractere.

4o caractere

O 4o caractere é um algarismo, distinto do que já foi usado na 3a posição.

Logo, são 9 possibilidades de escolha de algarismo para o 4o caractere.

5o caractere

O 5o caractere é um caractere especial

Temos 6 possíveis escolhas para o 5o caractere.

6o caractere

O 6o caractere é um caractere especial, distinto do que já foi usado na 5a posição.

Temos 5 escolhas possíveis para o 6o caractere.

(ENEM 2023) Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres: • algarismos de 0 a 9; • 26 letras minúsculas do alfabeto; • 26 letras maiúsculas do alfabeto; • 6 caracteres especiais !, @, #, $, , &. Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário: • tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos; • tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial; • tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais. Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente. Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o A tipo I, pois p1 < p2 < p3. B tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres. C tipo II, pois tem maior quantidade de letras. D tipo III, pois p3 < p2 < p1. E tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Dica 7

Quantas senhas possíveis podemos formar do tipo III?

Resolução da Dica 7

Basta a gente fazer a multiplicação:

52 . 51 . 10 . 9 . 6 . 5 = 7 160 400

Existem 7 160 400 senhas possíveis do tipo III.

Dica 8

Veja essa frase do enunciado:

Considere p1, p2 e p3 as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, II e III, respectivamente.

Vamos começar com as senhas do tipo I.

Imagina que um amigo seu criou uma senha do tipo I. Qual a probabilidade de você adivinhar corretamente a senha dele logo no primeira tentativa?

Resolução da Dica 8

Existem 19 545 240 possíveis senhas do tipo I.

Então, para acertar a senha do seu amigo com uma tentativa você tem:

1 chance em 19 545 240.

Em forma de fração fica:

Probabilidade p1 = \(\frac{1}{19 545 240}\)

Dica 9

Calcule a probabilidade da gente acertar uma senha do tipo II logo na primeira tentativa.

A mesma pergunta com senhas do tipo III

Resolução da Dica 9

Senha do tipo II

Existem 7 956 000 senhas possíveis do tipo II.

Para acertar uma senha desse tipo logo na primeira tentativa temos:

1 chance em 7 956 000

Em forma de fração fica:

Probabilidade p2 = \(\frac{1}{7956000}\)

Senha do tipo III

Existem 7 160 400 senhas possíveis do tipo III.

Para alguém chutar corretamente uma senha do tipo III logo na primeira tentativa temos:

1 chance em 7 160 400

Em forma de fração fica:

Probabilidade p3 = \(\frac{1}{7160400}\)

Dica 10

Calculamos as probabilidades p1, p2 e p3.

p1 = \(\frac{1}{19 545 240}\)

p2 = \(\frac{1}{7956000}\)

p3 = \(\frac{1}{7160400}\)

Qual dessas probabilidades é a menor?

Resolução da Dica 10

Temos três frações. Em todas elas, o numerador (parte de cima) vale 1.

A menor fração é a que está dividindo pelo maior número

  • p1 = \(\frac{1}{19 545 240}\)

A segunda menor fração é a que está dividindo pelo segundo maior número

  • p2 = \(\frac{1}{7956000}\)

A maior fração é a que está dividindo pelo menor número.

  • p3 = \(\frac{1}{7160400}\)

A gente percebe que p1 < p2 < p3.

Assim, p1 é a menor probabilidade.

O tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o tipo I.

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