(ENEM 2022) A World Series é a decisão do campeonato norte-americano de beisebol. Os dois times que chegam a essa fase jogam, entre si, até sete partidas. O primeiro desses times que completar quatro vitórias é declarado campeão.
Considere que, em todas as partidas, a probabilidade de qualquer um dos dois times vencer é sempre 1/2.
Qual é a probabilidade de o time campeão ser aquele que venceu a primeira partida da World Series?
A) 35/64
B) 40/64
C) 42/64
D) 44/64
E) 52/64
Dicas e Resolução:
Veja a dica abaixo e depois tente continuar resolvendo a questão por conta própria. A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Dica 1
O enunciado fala que teve um time que venceu a primeira partida. Vamos dizer que esse é o time A. A outra equipe, vamos chamar de time B.
A questão pede a probabilidade do time A ser campeão. Mas, vou te dizer uma coisa, nessa questão, é mais fácil a gente começar calculando qual a probabilidade do time A NÂO ser campeão.
Então, vamos lá, agora é a sua vez de continuar. Qual a probabilidade time A NÂO ser campeão?
Dica 2:
O time A já venceu a primeira partida. Então restam mais 6 jogos.
Vamos analisar em quais configurações o time A NÂO é campeão.
Se o time A perder os 4 jogos seguintes, então ele perde o campeonato. Pois, nesse caso, o time B conseguiu 4 vitórias e é campeão. Note que nem foi preciso fazer todos os 7 jogos nesse caso.
A gente pode descrever essa configuração da seguinte forma:
- V D D D D
Em que V significa Vitória, e D significa Derrota.
Então, para resolver essa questão, a gente pode listar todas as configurações em que o time A NÂO é campeão.
Sua vez de continuar! Liste todas as configurações em que o time A NÂO é campeão.
Dica 3:
Agora, vamos listar as configurações em que o time A ganha mais 1 jogo, além do primeiro. Ou seja, as configurações em que o time A tem duas vitórias no total
- V V D D D D
- Nesse caso, o time ganhou ganhou a 2a partida, e depois perdeu as 4 seguintes. Aí, acabou o campeonato, pois o time B conquistou 4 vitórias.
- V D V D D D
- V D D V D D
- V D D D V D
Essas são as configurações em que o time A vence mais 1 partida, além da primeira. Note que o campeonato acaba quando o time B completa 4 vitórias, sendo que nesses casos não foi necessário a realização de todos os 7 jogos.
Agora é a sua vez de continuar listando configurações em que o time A NÂO é campeão.
Dica 4:
Agora, vamos listar as configurações em que o time A ganha mais 2 jogos, além do primeiro. Então, nesses casos, o time A tem 3 vitórias no total.
- V V V D D D D
- V V D V D D D
- V V D D V D D
- V V D D D V D
- V D V V D D D
- V D V D V D D
- V D V D D V D
- V D D V V D D
- V D D V D V D
- V D D D V V D
Agora, com essas configurações acima, completamos todos os casos em que o time perde o campeonato.
Apenas resumindo,
- Na Dica 2, listamos os casos em que A tem 1 vitória no total
- Na Dica 3, listamos os casos em que A tem 2 vitórias no total
- Na Dica 4, listamos os casos em que A tem 3 vitórias no total
Esses são todos os casos em que A perde o campeonato. Pois, se a gente continuar, analisando os casos em que A tem 4 vitórias ou mais, aí o time A seria campeão.
Dica 5
Você deve estar pensando: “Nossa, que trabalhão ficar listando todas as possibilidades”. Mas, vou te dizer uma coisa, listar todas as possibilidades é uma estratégia que resolve muuuuuuitas questões do ENEM e dos vestibulares.
Note que acima, listei todas as configurações com organização. Então sempre que você for listar todas as possibilidades, faça isso com organização, que isso vai facilitar muito a sua vida.
Dica 6
Agora, vou te fazer uma pergunta.
Na Dica 2 listamos essa configuração:
- V D D D D
Qual a probabilidade dessa configuração acontecer?
Bom, na primeira partida, a gente já sabe com certeza que teve vitória do time A, pois o enunciado nos fornece essa informação.
E para cada partida seguinte, a probabilidade de vitória ou de derrota é 1/2.
- Na segunda partida, a probabilidade de acontecer uma Derrota é 1/2.
- Na terceira partida, a probabilidade de acontecer uma Derrota é 1/2.
- Na quarta partida, a probabilidade de acontecer uma Derrota é 1/2.
- Na quinta partida, a probabilidade de acontecer uma Derrota é 1/2.
Então, a probabilidade de acontecer V D D D D é (1/2)4.
Fazendo a conta, (1/2)4 = 1/16.
Agora é a sua vez de continuar!
Dica 7
Na Dica 3, listamos essas configurações:
- V V D D D D
- V D V D D D
- V D D V D D
- V D D D V D
Vamos começar analisando apenas a primeira dessas configurações:
- V V D D D D
Qual a probabilidade de acontecer exatamente a configuração acima?
Bom, seguindo o mesmo raciocínio, a gente calcula que é (1/2)5.
Fazendo a conta, (1/2)5 = 1/32.
E pras outras três configurações?
- V D V D D D
- V D D V D D
- V D D D V D
Para cada uma delas, a probabilidade de acontecer também será de 1/32.
Dica 8:
Agora, mais uma pergunta:
Qual a probabilidade de as finais do campeonato terminarem com qualquer uma das 4 configurações da dica anterior?
- V V D D D D
- V D V D D D
- V D D V D D
- V D D D V D
Bom, cada configuração tem probabilidade 1/32 de acontecer. Se juntarmos as 4, a chance de que qualquer uma delas aconteça é 4 vezes maior.
Ou seja, 4 × 1/32 = 4/32 = 1/8.
Dica 9
Agora, vamos analisar as possibilidades em que A ganha 3 jogos.
- V V V D D D D
- V V D V D D D
- V V D D V D D
- V V D D D V D
- V D V V D D D
- V D V D V D D
- V D V D D V D
- V D D V V D D
- V D D V D V D
- V D D D V V D
Vamos começar com a primeira:
- V V V D D D D
Qual a probabilidade de exatamente essa configuração acima acontecer?
Bom, a probabilidade é (1/2)6.
Fazendo a conta, (1/2)6 = 1/64.
Agora, mais uma pergunta.
Qual a probabilidade de que as finais terminem com qualquer uma das configurações acima?
Bom, acima estão listados 10 configurações. Então a probabilidade é 10 × 1/64.
Fazendo a conta, 10 × 1/64 = 10/64 = 5/32.
Dica 10
Qual a probabilidade de o campeonato terminar com apenas 1 vitória do time A?
- V D D D D
Calculamos que é 1/16.
Qual a probabilidade de o campeonato terminar com 2 vitória do time A?
- V V D D D D
- V D V D D D
- V D D V D D
- V D D D V D
Calculamos que é 1/8.
Qual a probabilidade de o campeonato terminar com 3 vitórias do time A?
- V V V D D D D
- V V D V D D D
- V V D D V D D
- V V D D D V D
- V D V V D D D
- V D V D V D D
- V D V D D V D
- V D D V V D D
- V D D V D V D
- V D D D V V D
Calculamos que é 5/32.
Agora, qual a probabilidade de que qualquer um dos casos acima aconteça?
Basta somarmos as probabilidades.
1/16 + 1/8 + 5/32
Colocando no denominador comum:
2/32 + 4/32 + 5/32 = 11/32.
Conclusão: a probabilidade de o time A NÂO vencer as finais é de 11/32.
Dica 11
Então, qual a probabilidade do time A vencer as finais?
Basta a gente fazer 1 – P(time A perder as finais).
1 – 11/32 = 32/32 – 11/32 = 21/32.
Só que as alternativas do enunciado estão com denominador 64.
21/32 = 42/64
Resposta:
Alternativa C
Comentários sobre a questão:
Essa questão talvez seja uma das mais difíceis da prova. Ela exige que você domine bem os assuntos de probabilidades e análise combinatória. Questão de nível muito difícil.
ENEM 2022 – Resolução Comentada – Matemática
Prova Amarela
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Cinza
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Azul
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Rosa
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
