(ENEM 2022 PPL) Três amigos realizaram uma viagem de carro entre duas cidades, num tempo total de 31 horas. Para não fazer paradas, revezaram na direção, de forma que cada um deles dirigisse um terço da quilometragem total.
O primeiro, mais prudente, dirigiu a uma velocidade média de 75 quilômetros por hora; o segundo, a uma velocidade média de 90 quilômetros por hora; e o último, mais apressado, dirigiu a uma velocidade média de 100 quilômetros por hora.
A distância percorrida por eles, em quilômetros, foi de
A 900.
B 2 700.
C 2 738.
D 2 790.
E 8 215.
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
Veja a seguinte frase do enunciado:
Para não fazer paradas, revezaram na direção, de forma que cada um deles dirigisse um terço da quilometragem total.
Nessa frase, a gente vê que cada amigo percorreu a mesma distância dirigindo.
Vamos dizer que cada amigo dirigiu um percurso de x quilômetros.
Agora é a sua vez de continuar resolvendo a questão!
Dica 2
Você lembra da expressão que relaciona velocidade, distância e tempo? É assim:
$$Velocidade = \frac{Distância}{Tempo}$$
Agora, veja essa frase do enunciado:
O primeiro, mais prudente, dirigiu a uma velocidade média de 75 quilômetros por hora
O primeiro amigo dirigiu um percurso de x km a uma velocidade de 75 km por hora.
Sua vez de continuar a resolução! Aplique a expressão da velocidade nos dados do primeiro amigo. Em seguida, calcule quanto tempo o primeiro amigo levou para completar o seu trajeto.
Resolução da Dica 2
Vamos usar a expressão da velocidade:
$$Velocidade = \frac{Distância}{Tempo}$$
O primeiro amigo percorreu uma distância de x km, a uma velocidade de 75 km por hora. Então vamos substituir esses dados na expressão.
\(75 = \frac{x}{Tempo}\)
Agora vamos isolar a variável Tempo na expressão.
\(Tempo = \frac{x}{75}\)
Conclusão: o primeiro amigo completou o percurso dele em \(\frac{x}{75}\) horas.
Dica 3
Siga esse mesmo raciocínio para o outros dois amigos. Em quanto tempo cada um deles completou os seus respectivos percursos?
Resolução da Dica 3
Segundo Amigo
Temos esses dados do enunciado:
o segundo, a uma velocidade média de 90 quilômetros por hora
O segundo amigo percorreu uma distância de x km, a uma velocidade de 90 km por hora.
\(Velocidade = \frac{Distância}{Tempo}\)
\(90 = \frac{x}{Tempo}\)
\(Tempo = \frac{x}{90}\)
O segundo amigo levou \(\frac{x}{90}\) horas no seu percurso.
Terceiro Amigo
O enunciado diz o seguinte:
o último, mais apressado, dirigiu a uma velocidade média de 100 quilômetros por hora.
Ele percorreu uma distância de x km, a uma velocidade de 100 km por hora.
\(Velocidade = \frac{Distância}{Tempo}\)
\(100 = \frac{x}{Tempo}\)
\(Tempo = \frac{x}{100}\)
O terceiro amigo levou \(\frac{x}{100}\) horas no seu percurso.
Dica 4
Nas dicas anteriores a gente concluiu que:
- O primeiro amigo dirigiu por \(\frac{x}{75}\) horas.
- O segundo amigo dirigiu por \(\frac{x}{90}\) horas.
- O terceiro amigo dirigiu por \(\frac{x}{100}\) horas.
Além disso, veja essa frase do enunciado:
Três amigos realizaram uma viagem de carro entre duas cidades, num tempo total de 31 horas.
Com essas informações acima, tente montar uma equação.
Resolução da Dica 4
Se a gente somar o tempo de direção dos três amigos, esse total deve ser igual a 31 horas. Então a equação fica assim:
$$\frac{x}{75} + \frac{x}{90} + \frac{x}{100} = 31$$
Vamos lá! Agora é a sua vez de resolver a equação e encontrar o valor de x.
Dica 5
\(\frac{x}{75} + \frac{x}{90} + \frac{x}{100} = 31\)
Em primeiro lugar, temos que colocar as frações em denominador comum. O denominador comum é o MMC (menor múltiplo comum) entre 75, 90 e 100.
MMC(75, 90, 100)
MMC(75, 90, 100) = 900
Então, o denominador comum das frações é 900.
Agora, é a sua vez de continuar! Coloque as frações no denominador 900 e depois resolva a equação.
Resolução da Dica 5
Vamos começar colocando a fração \(\frac{x}{75}\) no denominador 900.
Como que a gente faz isso?
Primeiro, a gente faz a divisão de 900 por 75.
900/75 = 12
Isso significa que 75 × 12 = 900
Então, na fração, o que acontece s a gente multiplicar tanto o numerador e o denominador por 12?
Fica assim:
\(\frac{x}{75}\) = \(\frac{x.12}{75.12}\) = \(\frac{x.12}{900}\)
Beleza! Conseguimos o denominador 900.
Agora, seguindo o mesmo raciocínio com as outras frações, a gente vai ter:
\(\frac{x}{90}\) = \(\frac{x.10}{90.10}\) = \(\frac{x.10}{900}\)
\(\frac{x}{100}\) = \(\frac{x.9}{100.9}\) = \(\frac{x.9}{900}\)
Pronto, conseguimos colocar todas as frações em denominador comum. Então, vamos resolver a equação.
\(\frac{x}{75} + \frac{x}{90} + \frac{x}{100} = 31\)
\(\frac{x.12}{75.12} + \frac{x.10}{90.10} + \frac{x.9}{100.9} = 31\)
\(\frac{x.12}{900} + \frac{x.10}{900} + \frac{x.9}{900} = 31\)
\(\frac{x.12 + x.10 + x.9}{900} = 31\)
\(\frac{x.31}{900} = 31\)
\(\frac{x}{900} = 1\)
\(x = 900\)
Calculamos que x vale 900.
Agora, você se lembra do início da resolução? A gente tinha determinado que cada amigo dirigiu durante x km. Ou seja, cada um dos três amigos dirigiu 900 km.
Juntando a distância percorrida por cada um dos três amigos, temos:
900 + 900 + 900 = 900 × 3 = 2700 km
A distância total percorrida pelos três amigos foi de 2700 km.
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Resposta
Alternativa B
Essa questão é de nível difícil
