(ENEM 2023 PPL) Um funcionário de uma loja de computadores misturou, por descuido, três computadores defeituosos com sete computadores perfeitos que estavam no estoque.
Uma pequena empresa fez a compra de cinco computadores nessa loja, escolhendo-os aleatoriamente dentre os dez que estavam no estoque.
Qual é a probabilidade de essa empresa ter levado, em sua compra, todos os três computadores defeituosos?
A) \(\frac{1}{72}\)
B) \(\frac{1}{12}\)
C) \(\frac{1}{4}\)
D) \(\frac{3}{10}\)
E) \(\frac{3}{7}\)
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
A gente pode calcular a probabilidade com a seguinte expressão:
$$P = \frac{\text{N° de casos favoráveis}}{\text{N° total de possibilidades}}$$
- N° total de possibilidades: é a quantidade de maneiras de se escolher 5 computadores dentre os 10 possíveis
- N° de casos favoráveis: é a quantidade de maneiras de de escolhermos 5 computadores dentre os 10 possíveis, mas obrigatoriamente incluindo os 3 defeituosos.
Vamos lá, agora é a sua vez de continuar resolvendo a questão!
Dica 2
Vamos começar calculando o n° total de possibilidades.
De quantas maneiras podemos escolher 5 computadores dentre os 10 possíveis?
Resolução da Dica 2
Temos que usar o conceito de combinação.
Existem \(\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}\) maneiras de escolhermos 5 computadores dentre os 10 possíveis.
Agora, você lembra como que se calcula\(\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}\)? Fica assim:
$$\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix} = \frac{10!}{5! . 5!}$$
Vamos guardar esse valor, que a gente ainda vai usar ele na resolução.
Dica 3
Vamos calcular agora o n° de casos favoráveis.
N° de casos favoráveis: é a quantidade de maneiras de de escolhermos 5 computadores dentre os 10 possíveis, mas obrigatoriamente incluindo os 3 defeituosos.
Vamos lá, tente fazer isso!
Resolução da Dica 3
Na loja há 3 computadores defeituosos e 7 em perfeito estado.
Na nossa escolha de 5 computadores, temos que incluir obrigatoriamente os 3 defeituosos.
Para completar o grupo de 5 computadores, precisamos acrescentar mais 2.
Esses 2 computadores que faltam serão escolhidos dentre o conjunto de 7 computadores perfeitos.
Então, nossa tarefa aqui é escolher 2 computadores dentre o conjunto de 7 computadores perfeitos.
De quantas maneiras podemos fazer isso?
Novamente isso é uma combinação.
Existem \(\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}\) maneiras de escolhermos 2 computadores dentre os 7 em perfeito estado.
Expandindo \(\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}\), fica assim:
$$\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \frac{7!}{2! . 5!}$$
Dica 4
Agora, vamos prosseguir com a expressão para calcular a probabilidade
$$P = \frac{\text{N° de casos favoráveis}}{\text{N° total de possibilidades}}$$
Vamos lá, substitua os valores que a gente encontrou na expressão, e continue a resolução.
Resolução da Dica 4
$$P = \frac{\text{N° de casos favoráveis}}{\text{N° total de possibilidades}}$$
$$P = \frac{\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 10 \\ 5 \end{pmatrix}}$$
$$P = \frac{\frac{7!}{2! . 5!}}{\frac{10!}{5! . 5!}}$$
Quando estamos dividindo uma fração pela outra, é como se estivéssemos multiplicando pelo inverso da fração de baixo.
$$P = \frac{7!}{2! . 5!} . \frac{5! . 5!}{10!}$$
$$P = \frac{7!}{2!} . \frac{5!}{10!}$$
Agora, vamos expandir alguns fatoriais, que a gente consegue cancelar alguns termos.
$$P = \frac{7.6.5.4.3.2!}{2!} . \frac{5!}{10.9.8.7.6.5!}$$
$$P = \frac{7.6.5.4.3}{1} . \frac{1}{10.9.8.7.6}$$
$$P = \frac{7.6.5.4.3}{10.9.8.7.6}$$
$$P = \frac{5.4.3}{10.9.8}$$
$$P = \frac{4.3}{2.9.8}$$
$$P = \frac{3}{2.9.2}$$
$$P = \frac{1}{2.3.2}$$
$$P = \frac{1}{12}$$
Chegamos na resposta! A probabilidade vale \(\boldsymbol{\frac{1}{12}}\)
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Resposta
Alternativa B
Essa questão é de nível difícil
Agora, vou te dar uma dica importante: A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Então, se você não resolveu por conta própria essa questão, faça o seguinte agora: Pegue um lápis e papel, e tente resolver novamente a questão, só que dessa vez por conta própria. Refaça o exercício do começo ao fim sem consultar nada.
Você deve ter o seguinte em mente: “Se essa questão aparece na minha prova do Enem, eu tenho que conseguir resolver ela totalmente por conta própria.”
Adote essa prática para todos os exercícios aqui do site. Isso vai te ajudar a progredir muito mais rápido em matemática.
Como foi a sua experiência?
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