(ENEM 2023 PPL) Um reservatório que abastece uma região urbana está com uma quantidade V de água. Previsões meteorológicas indicam que a região passará por uma escassez de chuva e, por isso, as autoridades locais determinaram a realização de várias medições do volume de água nesse reservatório para efeito de monitoramento.
A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade; O ; a terceira, a retirada da quarta parte do que restou; a quarta, a retirada da quinta parte do que restou e assim sucessivamente nas demais medições, mantendo o seguinte padrão de retirada: na n-ésima medição, a retirada da (n + 1)-ésima parte do que restou.
Considere que não houve reabastecimento de água no reservatório no período em que foram feitas as medições.
Mantendo esse padrão de retirada, as quantidades de água restantes no reservatório referentes às 7ª, 8ª e 9ª medições são iguais a, respectivamente,
A) \(\frac{7}{8}V\), \(\frac{8}{9}V\) e \(\frac{9}{10}V\)
B) \(\frac{6}{7}V\), \(\frac{7}{8}V\) e \(\frac{8}{9}V\)
C) \(\frac{6}{8}V\), \(\frac{7}{9}V\) e \(\frac{8}{10}V\)
D) \(\frac{1}{7}V\), \(\frac{1}{8}V\) e \(\frac{1}{9}V\)
E) \(\frac{1}{8}V\), \(\frac{1}{9}V\) e \(\frac{1}{10}V\)
Dicas e Resolução
IMPORTANTE: Tente resolver a questão por alguns minutos antes de consultar as dicas. A melhor maneira de progredir em matemática é tentando resolver exercícios por conta própria.
Dica 1
Vamos começar revisando alguns conceitos que serão importantes para a resolução dessa questão.
Imagina que você tem 1 porção de algo. Você retira a terça parte dessa porção. Quanto que sobra?
Resolução da Dica 1
No início você tinha 1 porção. Você retira \(\frac{1}{3}\) da porção.
A conta fica então:
1 – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{3}{3}\) – \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{2}{3}\)
Então, no final o que resta é \(\frac{2}{3}\) da porção.
Dica 2
Vamos continuar revisando alguns conceitos importantes para a questão
Imagina que você tem 1 porção de algo. Você retira a quarta parte da porção. Quanto que resta?
Resolução da Dica 2
Inicialmente você tinha 1 porção. Você retira \(\frac{1}{4}\) da porção.
A conta fica assim:
1 – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{4}{4}\) – \(\frac{1}{4}\) = \(\frac{3}{4}\)
O que resta no final é \(\frac{3}{4}\) da porção.
Dica 3
Resolva a mesma questão das dicas anteriores. Só que dessa vez é retirando a quinta parte da porção.
Resolução da Dica 3
Inicialmente você tem 1 porção. Você retira \(\frac{1}{5}\) da porção.
A conta fica assim:
1 – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{5}{5}\) – \(\frac{1}{5}\) = \(\frac{4}{5}\)
O que sobra é \(\frac{4}{5}\) da porção.
Dica 4
Você reparou uma coisa?
- Ao retirar a terça parte de uma porção, o que sobra é \(\boldsymbol{\frac{2}{3}}\) da porção
- Ao retirar a quarta parte de uma porção, o que sobra é \(\boldsymbol{\frac{3}{4}}\) da porção
- Ao retirar a quinta parte de uma porção, o que sobra é \(\boldsymbol{\frac{4}{5}}\) da porção
Em todas as situações acima, na fração que sobra, o numerador (parte de cima) é 1 a menos que o denominador (parte de baixo).
Seguindo essa lógica, quando retiramos a sexta parte de uma porção, quanto vai sobrar?
Bom, o numerador será 1 a menos que o denominador.
Então, vai sobrar \(\boldsymbol{\frac{5}{6}}\) da porção.
A mesma coisa caso retirarmos a sétima parte, oitava parte ou nona parte de uma porção.
As sobras serão de \(\boldsymbol{\frac{6}{7}}\), \(\boldsymbol{\frac{7}{8}}\) ou \(\boldsymbol{\frac{8}{9}}\) da porção.
Dica 5
Agora que revisamos esse conceito importante, vamos resolver a questão!
Inicialmente o reservatório tinha uma quantidade V de água.
A primeira medição indicou que o volume de água reduziu-se à metade.
Qual era o volume de água na primeira medição?
Resolução da Dica 5
Na primeira medição, o volume era a metade de V.
Em forma de fração fica:
\(\frac{1}{2}V\)
Na primeira medição o volume de água era de \(\boldsymbol{\frac{1}{2}V}\).
Dica 6
O enunciado diz o seguinte:
a segunda medição indicou a retirada da terça parte do que restou
Na primeira medição, restou no reservatório \(\frac{1}{2}V\)
A terça parte dessa porção acima foi retirada. Quanto que sobrou na segunda medição?
Resolução da Dica 6
Quando retiramos a terça parte de uma porção, sobram \(\frac{2}{3}\) da porção.
Nessa situação, estamos retirando a terça parte de \(\frac{1}{2}V\).
Então, o que vai restar no reservatório é \(\frac{2}{3}\) de \(\frac{1}{2}V\).
Essa conta fica assim:
\(\frac{2}{3}\) . \(\frac{1}{2}V\) = \(\frac{1}{3}V\)
Na segunda medição restam no reservatório \(\boldsymbol{\frac{1}{3}V}\) de água.
Dica 7
O enunciado diz:
a terceira medição indica a retirada da quarta parte do que restou
Quanto que restou de água na terceira medição?
Resolução da Dica 7
Na segunda medição, havia no reservatório o volume \(\frac{1}{3}V\).
A terceira medição indicou a retirada da quarta parte dessa porção de \(\frac{1}{3}V\).
Então, restaram \(\frac{3}{4}\) da porção de \(\frac{1}{3}V\).
A conta fica assim:
\(\frac{3}{4}\) . \(\frac{1}{3}V\) = \(\frac{1}{4}V\)
Na terceira medição resta um volume de \(\boldsymbol{\frac{1}{4}V}\)
Dica 8
O enunciado diz o seguinte:
a quarta medição indica a retirada da quinta parte do que restou
Na quarta medição, quanto que restou de água?
Resolução da Dica 8
Na terceira medição havia \(\frac{1}{4}V\).
Foi retirada a quinta parte dessa porção acima.
Então, sobraram \(\frac{4}{5}\) dessa porção de \(\frac{1}{4}V\).
A conta fica:
\(\frac{4}{5}\) . \(\frac{1}{4}V\) = \(\frac{1}{5}V\)
Na quarta medição resta no reservatório o volume de água \(\boldsymbol{\frac{1}{5}V}\).
Dica 9
Repita esse mesmo raciocínio até chegar na 9ª medição
Resolução da Dica 9
5ª medição
\(\frac{5}{6}\) . \(\frac{1}{5}V\) = \(\frac{1}{6}V\)
Na 5ª medição restam um volume de \(\boldsymbol{\frac{1}{6}V}\) no reservatório
6ª medição
\(\frac{6}{7}\) . \(\frac{1}{6}V\) = \(\frac{1}{7}V\)
Na 6ª medição restam um volume de \(\boldsymbol{\frac{1}{7}V}\) no reservatório
7ª medição
\(\frac{7}{8}\) . \(\frac{1}{7}V\) = \(\frac{1}{8}V\)
Na 7ª medição restam um volume de \(\boldsymbol{\frac{1}{8}V}\) no reservatório
8ª medição
\(\frac{8}{9}\) . \(\frac{1}{8}V\) = \(\frac{1}{9}V\)
Na 8ª medição restam um volume de \(\boldsymbol{\frac{1}{9}V}\) no reservatório
9ª medição
\(\frac{9}{10}\) . \(\frac{1}{9}V\) = \(\frac{1}{10}V\)
Na 9ª medição restam um volume de \(\boldsymbol{\frac{1}{10}V}\) no reservatório
Conclusão
Nas 7ª, 8ª e 9ª medições, as quantidades de água no reservatório serão de:
\(\frac{1}{8}V\), \(\frac{1}{9}V\) e \(\frac{1}{10}V\)
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Resposta
Alternativa E
Essa questão é de nível difícil
Agora, vou te dar uma dica importante: A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Então, se você não resolveu por conta própria essa questão, faça o seguinte agora: Pegue um lápis e papel, e tente resolver novamente a questão, só que dessa vez por conta própria. Refaça o exercício do começo ao fim sem consultar nada.
Você deve ter o seguinte em mente: “Se essa questão aparece na minha prova do Enem, eu tenho que conseguir resolver ela totalmente por conta própria.”
Adote essa prática para todos os exercícios aqui do site. Isso vai te ajudar a progredir muito mais rápido em matemática.
Como foi a sua experiência?
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