Probabilidades e Análise Combinatória – Árvore de Possibilidades II

Revisão: Notação Exponencial

Exercício 10

a) Usando apenas os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 3 dígitos podemos formar?

Resposta: 3⁵

b) Usando apenas os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 8 dígitos podemos formar?

Resposta: 3⁸

c) Usando apenas os algarismos 1, 3, 5, 7 e 9, quantos números de 15 dígitos podemos formar?

Resposta: 3¹⁵

Exercício 11

a) Um banco utiliza senhas numéricas formadas por 3 dígitos. Cada dígito é um algarismo entre 0 e 9. Quantas possibilidades possíveis de senhas podemos formar?

Resposta: 10³ = 1000

b) Um banco utiliza senhas numéricas formadas por 5 dígitos. Cada dígito é um algarismo entre 0 e 9. Quantas possibilidades possíveis de senhas podemos formar?

Resposta: 10⁵

c) Um banco utiliza senhas numéricas formadas por 20 dígitos. Cada dígito é um algarismo entre 0 e 9. Quantas possibilidades possíveis de senhas podemos formar?

Resposta: 10²⁰

Exercício

a) Considerando um alfabeto de 26 letras, quantas palavras de 4 letras podemos formar? Mesmo que a palavra não faça sentindo, por exemplo, “bcde” pode ser considerado uma palavra.

Resposta: 26⁴

b) Considerando um alfabeto de 26 letras, quantas palavras de 10 letras podemos formar? Mesmo que a palavra não faça sentindo.

Resposta: 26¹⁰

Exercício

a) Um banco utiliza senhas formadas por 4 letras. Considere um alfabeto de 26 letras, e que cada letra maiúscula seja distinta da sua versão minúscula. Quantas senhas de 4 letras podemos formar? Nessa questão, a senha “Abcd” é considerada diferente da senha “abcd”, pois as letras maiúsculas são consideradas distintas das suas versões minúsculas.

Resposta: 52⁴

b) Quantas senhas de 10 letras podemos formar?

Resposta: 52¹⁰

Faculdade de Tecnologia do Estado de São Paulo – 2002

(FATEC 2002) Para participar de um campeonato de futebol, o técnico da FATEC selecionou 22 jogadores, 2 para cada posição. O número de maneiras distintas que o técnico pode formar esse time de modo que nenhum jogador atue fora de sua posição é:
a) 2541
b) 2048
c) 462
d) 231
e) 44

Resposta: 2¹¹ = 2048
Alternativa B

Universidade Federal de Pernambuco – 1995

(UFPE-1995) Uma prova de matemática é constituída de 16 questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão 5 alternativas distintas. Se todas as 16 questões forem respondidas ao acaso, o número de maneiras distintas de se preencher o cartão de respostas será:

A) 80
B) 16⁵
C) 5³²
D) 16¹⁰
E) 5¹⁶

Resposta: Alternativa B

ENEM 2005

(ENEM 2005) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter é um conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em relação aos demais.

Por exemplo, a letra A é representada por

O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é
(A) 12.
(B) 31.
(C) 36.
(D) 63.
(E) 720.

Resposta: 2⁶ – 1 = 64 – 1 = 63
Alternativa D

ENEM 2016 3a aplicação

(ENEM 2016 3a aplicação) Computadores utilizam, por padrão, dados em formato binário, em que cada dígito, denominado de bit, pode assumir dois valores (0 ou 1). Para representação de caracteres e outras informações, é necessário fazer uso de uma sequência de bits, o byte. No passado, um byte era composto de 6 bits em alguns computadores, mas atualmente tem-se a padronização que o byte é um octeto, ou seja, uma sequência de 8 bits. Esse padrão permite representar apenas 2⁸ informações distintas.

Se um novo padrão for proposto, de modo que um byte seja capaz de representar pelo menos 2560 informações distintas, o número de bits em um byte deve passar de 8 para

A) 10
B) 12
C) 13
D) 18
E) 20

Resposta: Alternativa B

Exercício ENEM 2013

(ENEM 2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet.

Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres.

Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo.

O coeficiente de melhora da alteração recomendada é

A) \(\frac{62^6}{10^6}\)

B) \(\frac{62!}{10!}\)

C) \(\frac{62! 4!}{10! 56!}\)

D) \(62! – 10!\)

E) \(62^6 – 10^6\)

Dica 1:

Dica 1 Resolução:

Dica 2:

Dica 2 Resolução:

Resposta: Alternativa A

Exercício ENEM 2017

(ENEM 2017) Uma empresa construirá sua página na internet e espera atrair um público de aproximadamente um milhão de clientes. Para acessar essa página, será necessária uma senha com formato a ser definido pela empresa. Existem cinco opções de formato oferecidas pelo programador, descritas no quadro, em que “L” e “D” representam, respectivamente, letra maiúscula e dígito.

As letras do alfabeto, entre as 26 possíveis, bem como os dígitos, entre os 10 possíveis, podem se repetir em qualquer das opções.

A empresa quer escolher uma opção de formato cujo número de senhas distintas possíveis seja superior ao número esperado de clientes, mas que esse número não seja superior ao dobro do número esperado de clientes.

A opção que mais se adequa às condições da empresa é:

A) I
B) II
C) III
D) IV
E) V

Dica 1:

Vamos começar analisando a Opção I, com formato LDDDDD. Seguindo esse formato, a senha tem 6 caracteres, sendo que o primeiro deve ser uma letra, e o outros caracteres devem ser dígitos. Temos que calcular quantas senhas distintas possíveis existem nesse formato.

Para o primeiro caracter, nós temos 26 escolhas possíveis de letras, e para cada um dos outros caracteres, nós temos 10 escolhas possíveis de dígitos.

Então, o número total de senhas que podemos formar nesse formato é:

\(26\times10\times10\times10\times10\times10\)

Fazendo a conta, encontramos o resultado de 2,600,000 senhas possíveis.

O enunciado pergunta, para qual dos 5 formatos, o número de senhas existentes é maior que 1 milhão e menor que 2 milhões. O resultado que encontramos para a Opção I é maior que 2 milhões, então está descartado.

Dica 2:

Vamos calcular o número total de senhas distintas para cada um dos outros formatos:

Opção II: DDDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(10\times10\times10\times10\times10\times10\)

Resultado: 1000,000 de senhas possíveis. O enunciado pede um formato que tenha mais de 1 milhão de senhas possíveis. Para essa opção, existem exatamente 1 milhão de senhas possíveis. Então a Opção II está descartada.

Opção III: LLDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(26\times26\times10\times10\times10\times10\)

O resultado da conta é: 6,760,000. Esse valor é maior que 2 milhões. Então a Opção III está descartada.

Opção IV: DDDDD. O número de senhas possíveis é:

\(10\times10\times10\times10\times10\)

O resultado dá 100,000. Esse valor é menor que 1 milhão, então essa opção está descartada.

Opção V: LLLDD. O número de senhas possíveis é:

\(26\times26\times26\times10\times10\)

O resultado é 1,757,600. Esse valor está entre 1 milhão e 2 milhões. Então a alternativa correta é a Opção V.

Resposta: Alternativa E

Exercício ENEM 2014

(ENEM 2014 2^a aplicação) Um procedimento padrão para aumentar a capacidade do número de senhas de banco é acrescentar mais caracteres a essa senha. Essa prática, além de aumentar as possibilidades de senha, gera um aumento na segurança. Deseja-se colocar dois novos caracteres na senha de um banco, um no início e outro no final. Decidiu-se que esses novos caracteres devem ser vogais e o sistema conseguirá diferenciar maiúsculas de minúsculas.

Com essa prática, o número de senhas possíveis ficará multiplicado por

A) 100
B) 90
C) 80
D) 25
E) 20

Dica 1:

O enunciado diz que os novos caracteres devem ser vogais, minúsculas ou maiúsculas. Então para cada novo caracter, existem 10 possibilidades de escolha: a, b, c, d, e, A, B, C, D, E.

Dica 2:

Vamos supor, que originalmente, a capacidade do número de senhas do banco era um valor N.

Ao adicionarmos uma vogal, minúscula ou maiúscula no início, e uma outra no final, o número total de senhas possíveis fica:

\(10\times{N}\times10 = 100N\)

Ou seja, o número total de senhas possíveis cresceu 100 vezes em relação à capacidade original de N.

Resposta: Alternativa A

Exercício ENEM 2017

(ENEM 2017 2^a aplicação) Desde 1999 houve uma significativa mudança nas placas dos carros particulares em todo o Brasil. As placas, que antes eram formadas apenas por seis caracteres alfanuméricos, foram acrescidas de uma letra, passando a ser formadas por sete caracteres, sendo que os três primeiros caracteres devem ser letras (dentre as 26 letras do alfabeto) e os quatro últimos devem ser algarismos (de 0 a 9). Essa mudança possibilitou a criação de um cadastro nacional unificado de todos os veículos licenciados e ainda aumentou significativamente a quantidade de combinações possíveis de placas. Não são utilizadas placas em que todos os algarismos sejam iguais a zero.

Disponível em http://g1.globo.com. Acesso em: 14 jan. 2012 (adaptado)

Nessas condições, a quantidade de placas que podem ser utilizadas é igual a

A) \(26^3 + 9^4\)

B) \(26^3 \times 9^4\)

C) \(26^3 (10^4 – 1)\)

D) \((26^3 + 10^4) – 1\)

E) \((26^3 \times 10^4) – 1\)

Dica 1:

Qual o número de sequências formadas por 3 letras?

\(26\times26\times26 = 26^3\)

Dica 2:

Qual o número de sequências formadas por 4 algarismos?

\(10\times10\times10\times10 = 10^4\)

Dica 3:

Qual o número de sequências formadas por 4 algarismos, sendo que não é permitida a sequência formada por quatro zeros?

\(10^4 – 1\)

Dica 4:

De quantas maneiras podemos formar uma placa que começa com 3 letras, seguida de 4 algarismos. Mas não é permitido que todos os algarismos sejam zero.

\(26^3\times(10^4 – 1)\)

Resposta: Alternativa C

(UNIFESP 2008) O número de inteiros positivos que são divisores do número N = 21⁴ × 35³, inclusive 1 e N, é
(A) 84.
(B) 86.
(C) 140.
(D) 160.
(E) 162.

ENEM 2002

(ENEM 2002) O código de barras, contido na maior parte dos produtos industrializados, consiste num conjunto de várias barras que podem estar preenchidas com cor escura ou não. Quando um leitor óptico passa sobre essas barras, a leitura de uma barra clara é convertida no número 0 e a de uma barra escura, no número 1. Observe abaixo um exemplo simplificado de um código em um sistema de código com 20 barras.

Se o leitor óptico for passado da esquerda para a direita irá ler: 01011010111010110001

Se o leitor óptico for passado da direita para a esquerda ir· ler: 10001101011101011010

No sistema de código de barras, para se organizar o processo de leitura óptica de cada código, deve-se levar em consideração que alguns códigos podem ter leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, como o código 00000000111100000000, no sistema descrito acima.

Em um sistema de códigos que utilize apenas cinco barras, a quantidade de códigos com leitura da esquerda para a direita igual à da direita para a esquerda, desconsiderando-se todas as barras claras ou todas as escuras, é
(A) 14.
(B) 12.
(C) 8.
(D) 6.
(E) 4.

Resposta: 2³ – 2 = 6
Alternativa D

Exercício ENEM 2014

(ENEM 2014) Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2^x . 5^y . 7^z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.

O número de divisores de N, diferentes de N, é

A) x.y.z
B) (x+1).(y+1)
C) x.y.z-1
D) (x+1).(y+1).z
E) (x+1).(y+1).(z+1)-1