Logaritmo

Calcule:

\(2^3 \times 2^4=\)

\((\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^5=\)

\(\frac{3^5}{3^2}=\)

\(\frac{10^5}{2^4}=\)

\(\frac{10^4}{5^3}=\)

\(2^{-3}=\)

\(4^2 \times 4^{-4}=\)

\(\frac{12^2}{3^3}=\)

\(3^3 \times 3^{-5}=\)

\(\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=\)

\(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{4}}=\)

\(\frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{3})^3}=\)

\((\frac{1}{2})^{-2}=\)

\((\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^{-4}=\)

\(2^2 \times 2^2 \times 2^2=\)

\(2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 =\)

\(2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 2^2=\)

\((2^2)^3=\)

\((2^2)^4=\)

\((2^2)^5=\)

\(((\frac{1}{2})^2)^3=\)

\(((\frac{1}{2})^{-1})^3=\)

\((\frac{1}{10})^{-2}=\)

\(((\frac{1}{10})^2)^{-1}=\)

\(((\frac{2}{3})^3)^{-2}=\)

\(\frac{5^3+5^4}{5^2}=\)

\( ( (2^{-1})^{-1} ) ^{-1}=\)

\(\frac{4^2}{2^3}=\)

Calcule:

\(log_2 4 + log_2 8=\)

\(log_2 (4 \times 8 )=\)

\(log_3 3 + log_3 9=\)

\(log_3 (3 \times 9)=\)

\(log_2 8 + log_2 4 =\)

\(log_2 (8 \times 4)=\)

\(log_{10}20 + log_{10}5.\) Dica: Vamos usar \(log_{10}20 = x\) e \(log_{10}5 =y\)

\(log_{10}(20 \times 5)=\)

\(log_4 2 + log_4 8=\)

\(log_4 (2\times 8)=\)

\(log_6 12 + log_6 3 =\)

\(log_6 (12 \times 3)=\)

Propriedade: (Tem que lembrar!)

\(log_b a + log_b c = log_b(a \times c)\)

Calcule:

\(log_2 16 – log_2 2 =\)

\(log_2 \frac{16}{2}=\)

\(log_3 81 – log_3 9 =\)

\(log_3 \frac{81}{9}=\)

\(log_{10} 100000 – log_{10} 1000=\)

\(log_{10} \frac{100000}{1000}=\)

\(log_{10} 200 – log_{10}2=\)

\(log_{10}\frac{200}{2}=\)

\(log_6 180 – log_6 5=\)

\(log_6 \frac{180}{5}=\)

\(log_3 36 – log_3 4=\)

\(log_3 \frac{36}{4} =\)

Propriedade: (Tem que lembrar!)

\(log_b a – log_b c = log_b \frac{a}{c}\)

Calcule:

\(log_2 2^3=\)

\(3\times log_2 2=\)

\(log_2 8^3=\)

\(3 \times log_2 8\)

\(log_3 9^4 =\)

\(4 \times log_3 9=\)

Assumindo que \(log_{10}2 = 0,3\), calcule \(log_{10}2^4\)

Assumindo que \(log_{10}3 = 0,48\), calcule \(log_{10}3^5\)

Assumindo que \(log_{10}5 = 0,7\), calcule \(log_{10}5^3\)

Propriedade: (Tem que lembrar!)

\(log_b a^c = c \times log_b a\)

Calcule:

\( \frac{log_{10}8}{log_{10}2} =\)

\(log_2 8=\)

\(\frac{log_{10}36}{log_{10}6}=\)

\(log_6 36 =\)

\(\frac{log_2 125}{log_2 5}=\)

\(log_5 125=\)

\(\frac{log_b 1000}{log_b 10}=\)

\(log_{10}1000=\)

\(\frac{log_3 128}{log_3 2}=\)

\(log_2 128=\)

Propriedade: (Tem que lembrar!)

\(\frac{log_b c}{log_b a} = log_a c\)

Exercícios:

Assuma que \(log_{10}2 = 0,3\), calcule os seguintes valores:

\(log_{10} (2\times2)=\)

\(log_{10}(2\times 2 \times 2)=\)

\(log_{10}2^6=\)

\(log_{10}16=\)

\(log_{10}32=\)

\(log_{10}2^{20}=\)

\(log_{10}2^{-1}=\)

\(log_{10}2^{-2}=\)

\(log_{10}2^{-100}=\)

\(log_{10}(2 \times 10)=\)

\(log_{10}(2 \times 2 \times 10)=\)

\(log_{10}(2 \times 2 \times 10 \times 10)=\)

\(log_{10}200=\)

\(log_{10}80=\)

\(log_{10}1600=\)

\(log_{10}\frac{10}{2}=\)

\(log_{10}\frac{10}{2\times2}=\)

\(log_{10}\frac{100}{2}=\)

\(log_{10}\frac{100}{4}=\)

\(log_{10}250=\)

\(log_{10}125=\)

\(log_{10}\frac{125}{4}=\)

\(\frac{log_{10}10}{log_{10}2}=\)

\(log_2 10=\)

\(\frac{log_{10}10}{log_{10}4}=\)

\(log_4 10=\)

\(\frac{log_{10}100}{log_{10}8}=\)

\(log_8 100=\)

\(log_2 20=\)

\(log_4 200=\)

Assuma que \(log_{10}2 = 0,3\) e \(log_{10}3 = 0,48\), calcule os seguintes valores:

\(log_{10}6=\)

\(log_{10}12=\)

\(log_{10}27=\)

\(log_{10}54=\)

\(log_{10}(2^5 \times 3^3)=\)

\(log_{10}30=\)

\(log_{10}(5^3 \times 3^5)=\)

\(log_{10}150=\)

\(log_{10}\frac{3}{2}=\)

\(log_{10}12=\)

\(log_{10}\frac{3}{10}=\)

\(log_{10}0,2=\)

\(log_{10}0,03=\)

\(log_{10}0,002=\)

\(log_{10}0,5=\)

\(log_{10}0,05=\)

\(log_{10}\frac{3}{5}=\)

\(log_{10}0,06=\)

\(log_{10}0,12=\)

\(log_{10}\frac{25}{36}=\)

\(log_{10}7,2=\)

\(log_{10}28,8=\)

\(log_{10}\frac{2}{15}\)

\(log_{10}\frac{1}{2\times3 \times 5^{-10}}\)

\(log_{10}\frac{10^8}{2^5}=\)

\(log_{10}\frac{2^3}{5 \times 3^{-2}}=\)

\(log_3 2=\)

\(log_2 9=\)

\(log_3 200=\)

\(log_6 120=\)

\(log_{18}1,44=\)

Se \(2^x=3\), calcule \(x\)

Se \(3^x=2\), calcule \(x\)

Se \(4^x=9\), calcule \(x\)

Se \(2^x=15\), calcule \(x\)

Se \(15^x=30\), calcule \(x\)

Se \(0,2^x=\frac{3}{5}\), calcule \(x\)

(UFGD 2014) Sabendo que log2 = x e log3 = y, o valor de log120 é dado por:

A) x – y + 5
B) 2x + y + 1
C) x + y – 1
D) 3x + y + 2
E) 4x + y + 5

(UFGD 2011) Uma empresa de derivados químicos considera que, quando x milhões de dólares são investidos em pesquisas, o lucro anual, em milhões de dólares, passa a ser

L(x) = 20 + 5log3(x+3)

De quanto deveria ser o investimento em pesquisa para que o lucro anual fosse de 40 milhões de dólares?
(A) 24 milhões de dólares.
(B) 27 milhões de dólares.
(C) 78 milhões de dólares.
(D) 9 milhões de dólares.
(E) 84 milhões de dólares.

UEMS 2010 – Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul

Na história do desenvolvimento da matemática, os logaritmos apareceram para facilitar os cálculos em uma época em que ainda não existiam calculadoras. Os logaritmos estão associados à ideia de construir uma tabela que auxilie em cálculos de multiplicação, que envolvem muitos dígitos e que seriam trabalhosos de serem feitos à mão. Essa ideia, que motivou o surgimento dos logaritmos, associa-se com a propriedade matemática \(a^na^m = a^{n+m}\)

Fixada uma base \(b\), o logaritmo \(n\) de um número \(x\) qualquer é o expoente da equação \(x = b^n\). A tabela a seguir é similar àquelas que os matemáticos construíam e utilizavam na época da invenção dos logaritmos. Nela, tem-se a base 0,99999 fixada.

Com o uso da tabela, pode-se afirmar que \(0,99998 \times 0,99994\) vale

A)0
B) 0,99999
C) 0,99993
D)0,99992
E) π

(UFG EAD 2017) A magnitude M de um terremoto e a energia por ele liberada (em Joules) E estão relacionadas pela seguinte equação:

log(E)=4,4+1,5 M ,

sendo que o logaritmo está na base 10.

Use: \(10^{\frac{325}{1000}}=2,11\)

Se um terremoto teve magnitude 1,95, a energia por ele liberada, em Joules, foi
(A) \(2,11×10^2\)
(B) \(2,11×10^5\)
(C) \(2,11×10^7\)
(D) \(2,11×10^{22}\)

UNEAL 2015 – Universidade Estadual de Alagoas

Sabe-se que o ph de certa substância pode ser calculado pelo logaritmo decimal do inverso da concentração de H+, o que pode ser traduzido para a linguagem matemática como

\(ph = log\frac{1}{[H^+]}\)

Assim, para certa substância \([H^+] = 5×10^{-5}\), o ph dessa substância será
(observação: use log 2 = 0,301)

(A) menor que 3.
(B) 3,979.
(C) 4,301.
(D) 5.
(E) maior que 5.

UERGS 2008 – Universidade Estadual do Rio Grande do Sul

O valor de x pode ser determinado, na equação \(3^{x-1}=4\), com auxílio de logaritmos. Usando-se log3 = a e log2=b, tem-se que

A) \(x = 2a+b\)
B) \(x = 2ab\)
C) \(x = a+b\)
D) \(x = 2b+a\)
E) \(x=\frac{a+2b}{a}\)

UERGS 2008 – Universidade Estadual do Rio Grande do Sul

Na equação \(2^x = 18\) o valor de x pode ser dado por:

A) \(x=9\)
B) \(x=1+log2\)
C) \(x=2+log_2 9\)
D) \(x=log_{18}2\)
E) \(x=1+2log_2 3\)

UNEAL 2014 – Universidade Estadual de Alagoas

Em Barra de São de Miguel, devido a uma campanha feita sobre a importância nutricional das frutas e seus derivados, o número de pessoas que consomem esses produtos vem crescendo a uma taxa de 3% ao mês.

Nessas condições, considerando-se \(C_o\) como o número de consumidores de frutas e seus derivados no início da campanha, e usando-se log 1,03 = 0,01 e log 2 = 0,3, pode-se afirmar que o número inteiro de meses necessários para que a campanha atinja seu objetivo, que é de aumentar o número de consumidores em 400% em relação a \(C_o\), é igual a

A) 75
B) 70
C) 65
D) 60
E) 55

Universidade Federal do Vale do São Francisco 2009

(UNIVASF 2009) Se, em cada período de 20 anos, o percentual de fumantes no Brasil se reduzir à metade do valor que era antes, em quantos anos, a partir de hoje, este percentual se reduzirá a um décimo do valor atual? Indique o valor inteiro mais próximo. Dado: use a aproximação log102 ≈ 0,30.
A) 65 anos
B) 67 anos
C) 69 anos
D) 71 anos
E) 73 anos

Resposta: B

UNEAL 2012 – Universidade Estadual de Alagoas

Na Matemática, o logaritmo (do grego: logos = razão e arithmos = número), de base \(b\), maior que zero e diferente de 1, é uma função que faz corresponder aos objetos \(x\) a imagem \(y\) tal que \(b^y = x\). Usualmente é escrito como \(log_b x = y\). Por exemplo: \(3^4 = 81\), portanto \(log_3 81 = 4\). Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo, o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81. O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com \(b^n = x\), \(b\) pode ser determinado utilizando radicais, \(n\) com logaritmos, e \(x\) com exponenciais.

Disponível em http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo – adaptado

Dadas as afirmações sobre as propriedades dos logaritmos (\(b\) é um inteiro maior que 1 e \(x\) e \(y\) são números reais positivos),

I. \(log_b(x+y)=log_b x+log_b y.\)

II.\(log_b (x.y)=(log_b x).(log_b y).\)

III. \(log_b \frac{x}{y} = \frac{log_b x}{log_b y}\)

verifica-se que

A) todas são verdadeiras.
B) apenas I é verdadeira.
C) apenas II é verdadeira.
D) apenas III é verdadeira.
E)todas são falsas.

UNEAL 2010 – Universidade Estadual de Alagoas

Se \(log2=a\) e \(log3=b\), então \(log_2 1,44\) é

A) \(2a+b\)

B) \(\frac{2a}{b} + (4-a)\)

C) \(4(a + b -1)\)

D) \(\frac{2a}{b} + (a – 4)\)

E) \(\frac{2}{a}(2a+b-1)\)

UEM 2019 – Universidade Estadual de Maringá

Assinale o que for correto.

A) \(log_3 12 = log_2 8\)

B) \(3^{log_9 16} = 4\)

C) \(log_{25} 61 = (log_{61} 25)^{-1}\)

D) \((log3)^{log_{log3}3} = 3\)

E) log8 – log 4 = log4

UEM 2019 – Universidade Estadual de Maringá

Assinale o que for correto.

A) \(log_2 3 > log_3 2\)

B) Para quaisquer números reais \(a\), \(b\) e \(c\), sendo \(a\) positivo, \(a^{b-c} = a^b – a^c\)

C) \((0,2)^{2125} > (0,2)^{1554}\)

D) Para quaisquer números reais \(x\) e \(y\), \(cos(x+y)=cosx + cosy\)

E) Não existe número real positivo \(a\) para o qual \(log_5 a = -10\)

UNEB 2017 – Universidade do Estado da Bahia

Se \((\frac{3}{4})^x = \frac{256}{81}\) e \((\frac{y}{3})^2 = 729\), para \(x\) e \(y\) números reais, \(y > 0\), então o valor de \(y+3x\) é

  1. 33
  2. 48
  3. 56
  4. 69
  5. 77

(UFSCAR EAD 2013) Uma garota recebeu de presente de aniversário R$ 400,00 e decidiu gastá-lo da seguinte forma: no 1.o dia, gastou R$ 200,00; no 2.o dia, gastou R$ 100,00; e, assim, a cada dia gastava apenas a metade do que havia gasto no dia anterior. Procedendo dessa forma, e sabendo que log 2 = 0,30, pode-se concluir que o número de dias necessários para que ela tenha menos de R$ 1,00 para gastar será
(A) 8.
(B) 9.
(C) 10.
(D) 11.
(E) 12.

UNEB 2015 – Universidade do Estado da Bahia

Um capital C = R$50000,00, aplicado por um tempo t, a uma taxa anual de juros compostos de 10%, acumulou um montante M = R$64000,00.

Considerando-se log 121 = 2,1 e log 2 = 0,3, pode-se afirmar que, na primeira metade do tempo t, essa aplicação rendeu

01) R$4400,00
02) R$5000,00
03) R$5700,00
04) R$6300,00
05) R$7000,00

(UFRN 2009) Numa experiência realizada em laboratório, Alice constatou que, dentro de t horas, a população P de determinada bactéria crescia segundo a função P(t) = 25⋅ 2t .

Nessa experiência, sabendo-se que log2 5≅2,32, a população atingiu 625 bactérias em, aproximadamente,

A) 4 horas e 43 minutos.
B) 5 horas e 23 minutos.
C) 4 horas e 38 minutos.
D) 5 horas e 4 minutos.

UESC 2009 – Universidade Estadual de Santa Cruz

Como os logaritmos têm crescimento bastante lento, são usados em algumas aplicações práticas em que as medidas são muito grandes ou muito pequenas. Um exemplo é a escala Richter que é usada pelos sismólogos para medir a intensidade de terremotos. Os valores dessa escala correspondem a log(x), com x igual à amplitude das ondas sísmicas provocadas pelo terremoto.

Se um terremoto A atingiu 5,2 graus na escala Richter e um outro, B, atingiu 3,2 graus, então a amplitude das ondas sísmicas provocadas por A foi igual a

A) 1000 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
B) 100 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
C) 50 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
D) 1/2 da amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.
E) 2 vezes a amplitude das ondas sísmicas provocadas por B.

(UFRN 2012 Vagas Remanescentes) Uma plantação está sendo atacada por uma erva daninha que tem a propriedade de duplicar a área atingida a cada mês. No momento em que o agricultor percebeu o ataque, a erva daninha já cobria uma área inicial k do terreno plantado. Se o agricultor não tomar nenhuma providência para exterminar essas ervas, elas terão coberto uma área igual a dez vezes a área inicial atingida em um período de, aproximadamente,

(Utilize: log 2 = 0,30)

A) 4 meses e 02 dias.
B) 2 meses e 15 dias.
C) 3 meses e 10 dias.
D) 5 meses e 20 dias.

FATEC 2013 (Faculdade de Tecnologia de São Paulo)

Um modelo da perda (L) de propagação de sinais entre a antena transmissora e a receptora em espaço livre de obstáculos é, em decibel (dB), expressa por

\(L = 32,44 + 20.log_{10}f + 20.log_{10}d\)

em que f é a frequência de transmissão em mega-hertz (MHz) e d é a distância entre as antenas de transmissão e recepção em quilômetros (km).

Considerando que um sinal de radiofrequência de 600 MHz é enviado de uma estação-base para uma antena receptora que está a 20 km de distância, em espaço livre, então o valor da perda de propagação desse sinal é, em dB, aproximadamente,

Adote:
\(log_{10}2 = 0,30\)
\(log_{10}3 = 0,48\)

(A) 106.
(B) 114.
(C) 126.
(D) 140.
(E) 158.

Faculdade de Medicina de Jundiaí

(FMJ 2020) Na maioria dos restaurantes do Líbano, o equipamento para fumar o narguilé é levado à mesa do usuário por garçons jovens encarregados de acendê-lo. Um estudo mostrou que esses garçons têm níveis urinários médios de cotinina (um metabólito da nicotina) de 7,8 · 10– 4 g/mL, sendo que o valor de referência é de, no máximo, 2 · 10– 8 g/mL.
De acordo com o valor da meia-vida da cotinina, o número n de dias que esses garçons precisam ficar sem contato com o narguilé para que o nível urinário de cotinina volte aos valores de referência é determinado pela seguinte equação:

\(2 . 10^{-8} = 7,8 . 10^{-4} . (\frac{1}{2})^n\)


Considerando log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 13 = 1,11, tem-se que n é igual a, aproximadamente,

(A) 18.
(B) 15.
(C) 30.
(D) 42.
(E) 11.

(UFPR 2019) Um tanque contém uma solução de água e sal cuja concentração está diminuindo devido à adição de mais água.

Suponha que a concentração 𝑸(𝒕) de sal no tanque, em gramas por litro (g/l), decorridas t horas após o início da diluição, seja dada por 𝑸(𝒕) = 𝟏𝟎𝟎 × 𝟓−𝟎,𝟑𝒕

Assinale a alternativa que mais se aproxima do tempo necessário para que a concentração de sal diminua para 50 g/l.

(Use 𝒍𝒐𝒈 𝟓 = 𝟎, 𝟕)

a) 4 horas e 45 minutos.
b) 3 horas e 20 minutos.
c) 2 horas e 20 minutos.
d) 1 hora e 25 minutos.
e) 20 minutos.

FATEC 2014

Um consumidor deseja adquirir um apartamento e recorre a um banco para financiar esse imóvel. Após a análise das formas de crédito e da realização dos cálculos, o comprador opta por um financiamento no qual, ao término do prazo, o valor total pago será igual ao dobro do valor inicial financiado.

Sabendo-se que o banco aplicou uma taxa de juros de 8% ao ano, a juros compostos, o prazo em que esse comprador pagará seu apartamento é, em anos, igual a

Adote:
\(log 1,08 = 0,03\)
\(log 2 = 0,30\)
\(M = C.(1+i)^n\)

(A) 10.
(B) 15.
(C) 20.
(D) 25.
(E) 30.

(UFGD 2015) A população inicial de uma cidade é de 20.000 habitantes. Sabe-se que seu crescimento populacional é de 5% ao ano.

Considerando que a taxa de crescimento seja constante, em quantos anos aproximadamente a cidade terá dez vezes mais habitantes? Considere: log 1,05 = 0,021.

(A) 30 anos
(B) 36,7 anos
(C) 40,5 anos
(D) 43,8 anos
(E) 47,6 anos

FATEC 2017

O relatório anual “Tendências Globais”, que registra o deslocamento forçado ao redor do mundo, aponta um total de 65,3 milhões de pessoas deslocadas por guerras e conflitos até o final de 2015 – um aumento de quase 10% se comparado com o total de 59,5 milhões registrado em 2014. Esta é a primeira vez que o deslocamento forçado ultrapassa o marco de 60 milhões de pessoas. No final de 2005, o Alto Comissariado das Nações Unidas para Refugiados (ACNUR) registrou uma média de 6 pessoas deslocadas a cada minuto. Hoje (2015), esse número é de 24 por minuto.

O universo de 65,3 milhões inclui 21,3 milhões de refugiados ao redor do mundo, 3,2 milhões de solicitantes de refúgio e 40,8 milhões de deslocados que continuam dentro de seus países.

(FATEC 2017) O relatório anual “Tendências Globais”, que registra o deslocamento forçado ao redor do mundo, aponta um total de 65,3 milhões de pessoas deslocadas por guerras e conflitos até o final de 2015 – um aumento de quase 10% se comparado com o total de 59,5 milhões registrado em 2014.

Suponha um aumento exato de 10% no número de pessoas deslocadas no ano de 2015 em relação a 2014, e que esse crescimento ocorrerá a essa mesma taxa anualmente.

O número de pessoas deslocadas, em relação a 2014, dobrará no ano

Adote:
log 2 = 0,30
log 1,1 = 0,04

(A) 2018.
(B) 2020.
(C) 2022.
(D) 2024.
(E) 2026.

Faculdade de Medicina de Jundiaí

(FMJ 2019) Analise o gráfico da expectativa de vida ao nascer, no Brasil, entre 1940 e 2016.

A expectativa y de vida, em anos, analisada no gráfico a partir de 2010, pode ser aproximada pela relação y = 65,2 + 3,8 · loga x, em que os valores x = 12, 14, 16, 18 e 20 correspondem, respectivamente, aos anos de 2012, 2014, 2016, 2018 e 2020.

Nessas condições, e utilizando loga 2 = 0,70 e loga 5 = 1,60, a expectativa de vida em 2020 será de, aproximadamente,

(A) 76,2 anos.
(B) 76,6 anos.
(C) 76,3 anos.
(D) 76,5 anos.
(E) 76,4 anos.

(UFRN 2012) No ano de 1986, o município de João Câmara – RN foi atingido por uma sequência de tremores sísmicos, todos com magnitude maior do que ou igual a 4,0 na escala Richter. Tal escala segue a fórmula empírica \(M = \frac{2}{3}log_{10}\frac{E}{E_0}\)
, em que M é a magnitude, E é a energia liberada em KWh e E0=7×10-3KWh.
Recentemente, em março de 2011, o Japão foi atingido por uma inundação provocada por um terremoto. A magnitude desse terremoto foi de 8,9 na escala Richter. Considerando um terremoto de João Câmara com magnitude 4,0, pode-se dizer que a energia liberada no terremoto do Japão foi

A) 107,35 vezes maior do que a do terremoto de João Câmara
B) cerca de duas vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
C) cerca de três vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.
D) 1013,35 vezes maior do que a do terremoto de João Câmara.

ENEM 2018 PPL

Em março de 2011, um terremoto de 9,0 graus de magnitude na escala Richter atingiu o Japão matando milhares de pessoas e causando grande destruição. Em janeiro daquele ano, um terremoto de 7,0 graus na escala Richter atingiu a cidade de Santiago Del Estero, na Argentina. A magnitude de um terremoto, medida pela escala Richter, é \(R=log(\frac{A}{A_0})\), em que A é a amplitude do movimento vertical do solo, informado em um sismógrafo, \(A_0\) é uma amplitude de referência e log representa o logaritmo na base 10.

Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 28 fev. 2012 (adaptado)

A razão entre as amplitudes dos movimentos verticais dos terremotos do Japão e da Argentina é

A) \(1,28\)

B) \(2,0\)

C) \(10^\frac{9}{7}\)

D) \(100\)

E) \(10^9-10^7\)

ENEM 2016

Em 2011, um terremoto de magnitude 9,0 na escala Richter causou um devastador tsunami no Japão, provocando um alerta na usina nuclear de Fukushima. Em 2013, outro terremoto, de magnitude 7,0 na mesma escala, sacudiu Sichuan (sudoeste da China), deixando centenas de mortos e milhares de feridos. A magnitude de um terremoto na escala Richter pode ser calculada por

\(M=\frac{2}{3}log(\frac{E}{E_0})\),

sendo \(E\) a energia, em kWh, liberada pelo terremoto e \(E_0\) uma constante real positiva. Considere que \(E_1\) e \(E_2\) representam as energias liberadas nos terremotos ocorridos no Japão e na China, respectivamente.

Disponível em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).

Qual a relação entre \(E_1\) e \(E_2\)?

A) \(E_1 = E_2 + 2\)

B) \(E_1 = 10^2.E_2\)

C) \(E_1 = 10^3.E_2\)

D) \(E_1 = 10^{\frac{9}{7}}.E_2\)

E) \(E_1 = \frac{9}{7}.E_2\)

ENEM 2018 PPL

(ENEM 2018 PPL) A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, neutra, alcalina ou muito alcalina, dependendo do seu pH, dado pela expressão

\(pH=log_{10}\frac{1}{H},\)

em que H é a concentração de íons de hidrogênio, em mol por decímetro cúbico. A classificação da água de acordo com seu pH é mostrada no quadro.

(ENEM 2018 PPL) A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, neutra, alcalina ou muito alcalina
(ENEM 2018 PPL) A água comercializada em garrafões pode ser classificada como muito ácida, ácida, neutra, alcalina ou muito alcalina

Para o cálculo da concentração H, uma distribuidora mede dois parâmetros A e B, em cada fonte, e adota H como sendo o quociente de A por B. Em análise realizada em uma fonte, obteve \(A=10^{-7}\) e a água dessa fonte foi classificada como neutra.

O parâmetro B, então, encontra-se no intervalo

A) \((-10^{14,5}, -10^{13}]\)

B) \([10^{-\frac{6}{7}}, 10^{-1})\)

C) \([10^{-1}, 10^\frac{1}{2})\)

D) \([10^{13}, 10^{14,5})\)

E) \([10^{6\times10^7}, 10^{7,5\times10^7})\)

ENEM 2018

(ENEM 2018) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões.

Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100 000 transistores distribuídos em 0,25 cm2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore).

Disponível em www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado).

Considere 0,30 como aproximação para \(log_{10}2\).

Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores?

A) 1999
B) 2002
C) 2022
D) 2026
E) 2146

ENEM 2016

Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para \(log_{10}(3)\) e 1,041 como aproximação para \(log_{10}(11)\).

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de

A 22.
B 50.
C 100.
D 200.
E 400.

ENEM 2013

Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão \(M(t) = A · (2,7)^{kt}\), onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

Considere 0,3 como aproximação para \(log_{10}2\).

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial?

A 27
B 36
C 50
D 54
E 100

ENEM 2011

A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como \(M_W\), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. \(M_W\) e \(M_0\) se relacionam pela fórmula:

\(M_W = -10,7 + \frac{2}{3}log_{10}(M_0)\)

Onde \(M_0\) é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm.

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude \(M_W = 7,3\).

U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado) •
U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy.
Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado)

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico \(M_0\) do terremoto de Kobe (em dina.cm)?

A \(10^{-5,10}\)
B \(10^{-0,73}\)
C \(10^{12,00}\)
D \(10^{21,65}\)
E \(10^{27,00}\)

ENEM 2019

(ENEM 2019) A Hydrangea macrophylla é uma planta com flor azul ou cor-de-rosa, dependendo do pH do solo no qual está plantada. Em solo ácido (ou seja, com pH < 7) a flor é azul, enquanto que em solo alcalino (ou seja, com pH > 7) a flor é rosa. Considere que a Hydrangeo cor-de-rosa mais valorizada comercialmente numa determinada região seja aquela produzida em solo com pH inferior a 8. Sabe-se que pH = – log10x, em que x é a concentração de íon hidrogênio (H+).

Para produzir a Hydrangea cor-de-rosa de maior valor comercial, deve-se preparar o solo de modo que x assuma

A) qualquer valor acima de 10-8.
B) qualquer valor positivo inferior a 10-7.
C) valores maiores que 7 e menores que 8.
D) valores maiores que 70 e menores que 80.
E) valores maiores que 10-8 e menores que 10-7.

ENEM 2019

(ENEM 2019) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidade de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.

(ENEM 2019) Charles Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter, que mede a magnitude de um terremoto. Essa escala pode variar de 0 a 10, com possibilidade de valores maiores. O quadro mostra a escala de magnitude local (Ms) de um terremoto que é utilizada para descrevê-lo.

Para calcular a magnitude local, usa-se a fórmula Ms = 3,30 + log (A.f), em que A representa a amplitude máxima da onda registrada por um sismógrafo em micrômetro (µm) e f representa a frequência da onda, em hertz (Hz). Ocorreu um terremoto com amplitude máxima de 2 000 µm e frequência de 0,2 Hz.

Disponível em http://cejarj.cejarj.edu.br. Acesso em: 1 fev 2015 (adaptado).

Utilize 0,3 como aproximação para log 2.

De acordo com os dados fornecidos, o terremoto ocorrido pode ser descrito como
A. Pequeno.
B. Ligeiro.
C. Moderado.
D. Grande.
E. Extremo.

ENEM 2017 PPL

Nas informações veiculadas nos órgãos doe comunicação quando da ocorrência de um terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se como parâmetros as medidas da amplitude sísmica (A), em micrômetro, e da frequência (f), em hertz. Esses parâmetros são medidos por aparelhos especiais chamados sismógrafos, e relacionam-se segundo a função \(M=log(A\times f) + 3,3\). Pela magnitude do terremoto na escala Richter, pode-se estimar seus efeitos de acordo com o quadro, onde não estão considerados terremotos de magnitudes superiores a 7,9.

(ENEM 2017 PPL) Nas informações veiculadas nos órgãos doe comunicação quando da ocorrência de um terremoto, faz-se referência à magnitude (M), que se refere a quantos graus o fenômeno atingiu na escala Richter. Essa medida quantifica a energia liberada no epicentro do terremoto, e em seu cálculo utilizam-se como parâmetros as medidas da amplitude sísmica (A), em micrômetro, e da frequência (f), em hertz. Esses parâmetros são medidos por aparelhos especiais chamados sismógrafos

Um terremoto teve sua amplitude e frequências medidas e obteve-se A = 1000 micrômetros e f = 0,2 hertz.

Use -0,7 como aproximação para log (0,2).

Disponível em: www.mundoeducacao.com.br. Acesso em: 11 jul. 2012 (adaptado).

Considerando o quadro apresentado, e analisando o resultado da expressão que fornece a magnitude desse terremoto, conclui-se que ele foi

A) registrado, mas não percebido pelas pessoas.
B) percebido, com pequenos tremores notados pelas pessoas.
C) destrutivo, com consequências significativas em edificações pouco estruturadas.
D) destrutivo, com consequências significativas para todo tipo de edificação.
E) destrutivo, com consequências nas fundações dos edifícios, fendas no solo e tubulações no subsolo.

ENEM 2019 PPL

(ENEM 2019 PPL) Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é h = 5·log2 (t + 1), em que t é o tempo contado em dia e h, a altura da planta em centímetro.

A partir do momento em que uma dessas plantas é colocada à venda, em quanto tempo, em dia, ela alcançará sua altura máxima?

A 63
B 96
C 128
D 192
E 255

ENEM 2019 PPL

(ENEM 2019 PPL) Uma pessoa fez um depósito inicial de R$ 200,00 em um fundo de Investimentos que possui rendimento constante sob juros compostos de 5% ao mês. Esse Fundo possui cinco planos de carência (tempo mínimo necessário de rendimento do Fundo sem movimentação do cliente). Os planos são:

• Plano A: carência de 10 meses;
• Plano B: carência de 15 meses;
• Plano C: carência de 20 meses;
• Plano D: carência de 28 meses;
• Plano E: carência de 40 meses.

O objetivo dessa pessoa é deixar essa aplicação rendendo até que o valor inicialmente aplicado duplique, quando somado aos juros do fundo. Considere as aproximações: log 2 = 0,30 e log 1,05 = 0,02.

Para que essa pessoa atinja seu objetivo apenas no período de carência, mas com a menor carência possível, deverá optar pelo plano

A) A.
B) B.
C) C.
D) D.
E) E.

ENEM 2018

Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula

\(V=P.(1+i)^n\)

Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela.

Utiliza 0,2877 como aproximação para \(ln(\frac{4}{3})\) e 0,0131 como aproximação para ln(1,0132).

A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30a é a

A) 56a
B) 55a
C) 52a
D) 51a
E) 45a

ENEM 2017

Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula

\(P=\frac{5000\times 1,013^n \times 0,013}{(1,013^n – 1)}\)

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

A 12.
B 14.
C 15.
D 16.
E 17.

(ENEM 2015) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação \(y = log(x)\), conforme a figura

ENEM 2015 exercício logaritmos
ENEM 2015 exercício logaritmos

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. Obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

A expressão algébrica que determina a altura do vidro é

A) \(log(\frac{n + \sqrt{n^2+4} }{2}) – log(\frac{n – \sqrt{n^2 + 4} }{2})\)

B) \(log(1 + \frac{n}{2}) – log(1 – \frac{n}{2})\)

C) \(log(1 + \frac{n}{2}) + log(1 – \frac{n}{2})\)

D) \(log(\frac{n + \sqrt{n^2+4} }{2})\)

E) \(2 log(\frac{n + \sqrt{n^2+4} }{2})\)

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