(ENEM 2022) Uma loja comercializa cinco modelos de caixas-d’água (I, II, III, IV e V), todos em formato de cilindro reto de base circular. Os modelos II, III, IV e V têm as especificações de suas dimensões dadas em relação às dimensões do modelo I, cuja profundidade é P e área da base é Ab, como segue:
• modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;
• modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;
• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;
• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.
Uma pessoa pretende comprar nessa loja o modelo de caixa-d’água que ofereça a maior capacidade volumétrica.
O modelo escolhido deve ser o
A I.
B II.
C III.
D IV.
E V.
Dicas e Resolução:
Veja a dica abaixo e depois tente continuar resolvendo a questão por conta própria. A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Dica 1:
Como que a gente calcula o volume de um cilindro?
Bom, o volume do cilindro é calculado assim:
Volume do cilindro = Área da base × Altura
Agora, vamos analisar o modelo I:
O enunciado diz que a área da base é Ab. A altura do cilindro é a profundidade P.
Então, é a sua vez de continuar! Qual é o volume do cilindro de modelo I?
Resolução da Dica 1:
Bom, vamos aplicar a fórmula de volume:
Volume do cilindro = Área da base × Altura = Ab × P
Conclusão: O volume do cilindro do modelo I é Ab × P.
Dica 2:
Agora, vamos analisar o cilindro de modelo II.
Qual é a área da base desse cilindro? Qual é a altura?
Qual o volume do cilindro?
Vamos lá, agora é com você!
Resolução da Dica 2:
Olha só essa frase do enunciado:
“modelo II: o dobro da profundidade e a metade da área da base do modelo I;”
A profundidade é o dobro do modelo I. Ou seja, vale 2P.
A área da base é a metade do modelo I. Então, vale Ab/2.
Agora, vamos calcular o volume:
Volume = Área da base × Altura = \(\frac{A_b}{2} \times 2P\) = Ab × P
Conclusão: O volume do modelo II é Ab × P.
Dica 3:
Agora, vamos para o modelo III. Veja essa frase do enunciado:
“modelo III: o dobro da profundidade e a metade do raio da base do modelo I;”
Note que a frase cita o raio da base.
Bom, a base do cilindro é um círculo. A frase acima compara o raio da base entre os modelos I e III.
Com essa informação, calcule qual é a área da base do modelo III.
Resolução da Dica 3:
Você lembra como calcula a área de um círculo?
Área do círculo = π . Raio2
Então vamos aplicar essa fórmula no modelo I, e depois no modelo III.
Começando pelo modelo I:
No modelo I, a gente já sabe que a área do círculo é Ab. Além disso, vamos dizer que o raio é RI.
Aplicando a fórmula:
Ab = π . RI2
Lembre-se desse resultado, que a gente vai usar daqui a pouco.
Agora, vamos para o modelo III:
Quanto vale o raio da base no modelo III? Bom, o enunciado diz que o raio da base no modelo III é metade do raio da base no modelo I.
Então, \(R_{III} = \frac{R_I}{2}\)
Aplicando a fórmula dá área:
Área da baseIII = π . RIII2
No lugar do RIII, vamos colocar o \(\frac{R_I}{2}\).
Área da baseIII = π . \( \left( \frac{R_I}{2} \right)^2\)
\(\iff\) Área da baseIII = π . \(\frac{R_I ^2}{4}\) = \(\frac{\pi . R_I^2}{4}\)
Agora, você lembra que no modelo I, a gente calculou que Ab = π . RI2. Então, na expressão acima, no lugar do π . RI2, vamos colocar Ab.
Área da baseIII = \(\frac{\pi R_I^2}{4}\) = \(\frac{A_b}{4}\)
Ahá! Calculamos! A área da baseIII vale \(\frac{A_b}{4}\).
Dica 4:
Calcule o volume do cilindro do modelo III
Resolução da Dica 4:
Volume do cilindro = Área da base × Altura
A área da baseIII vale \(\frac{A_b}{4}\), e pelo enunciado, a alturaIII vale 2P.
Volume do cilindroIII = \(\frac{A_b}{4} . 2P\)
\(\iff\) Volume do cilindroIII = \(\frac{A_b}{2} . P\) = \(\frac{A_b.P}{2}\)
O volume do cilindroIII vale \(\frac{A_b.P}{2}\).
Dica 5:
Agora, é a sua vez de calcular os volumes dos modelos IV e V. Vamos lá!
Resolução da Dica 5:
Modelo IV:
O enunciado diz:
“• modelo IV: a metade da profundidade e o dobro da área da base do modelo I;”
A alturaIV vale \(\frac{P}{2}\) e a área da baseIV vale 2.Ab.
VolumeIV = Área da base × Altura = 2.Ab × \(\frac{P}{2}\) = Ab × P.
Modelo V:
Segundo o enunciado:
“• modelo V: a metade da profundidade e o dobro do raio da base do modelo I.”
Dessa vez o enunciado forneceu o raio da base:
RV = 2.RI.
Vamos calcular agora a área da base:
Área da baseV = π . RV2 = π.(2.RI)2 = π.4.RI2 = 4.π.RI2
Você lembra que na Dica 3 calculamos que Ab = π . RI2. Então, no lugar do π.RI2, vamos colocar o Ab.
Área da baseV = 4.π.RI2 = 4.Ab
Agora, podemos calcular o volume:
VolumeV = Área da base × Altura = 4.Ab × \(\frac{P}{2}\). = 2.Ab.P.
Conclusão:
Agora, calculamos os volumes de todos os modelos.
| Modelo | Volume |
| I | Ab . P |
| II | Ab . P |
| III | \(\frac{A_b.P}{2}\) |
| IV | Ab . P |
| V | 2.Ab.P |
O maior volume é o do modelo V.
Resposta:
Alternativa E
Comentário sobre a questão:
Questão no estilo clássico do ENEM. Para resolver essa questão, a gente precisou conhecer as fórmulas do volume do cilindro e da área do círculo. É importante que você memorize essas fórmulas, pois elas caem muito no ENEM e nos vestibulares. Essa questão é de nível médio.
ENEM 2022 – Resolução Comentada – Matemática
Prova Amarela
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Cinza
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
| Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
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| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Azul
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
| Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
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| Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
| Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Rosa
| Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
| Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
| Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
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| Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
| Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
