(ENEM 2022) Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m.
No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será
A 10.
B 13.
C 14.
D 15.
E 16.
Dicas e Resolução
Veja a dica abaixo e depois tente continuar resolvendo a questão por conta própria. A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Dica 1
Para resolver essa questão, temos que calcular o comprimento da volta do circuito maior e também o comprimento do circuito menor.
Então, vamos dizer que o circuito maior tem comprimento x, e o circuito menor tem comprimento y.
Agora é a sua vez de continuar a questão. Tente calcular os valores de x e y.
Dica 2
Veja essa frase do enunciado:
inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m.
Com essas informações, monte uma equação envolvendo x e y.
Resolução da Dica 2
Qual o comprimento de 3 voltas no circuito maior?
Bom, se cada volta no circuito maior mede x, então 3 voltas são 3x.
Qual o distância percorrida em 2 voltas no circuito menor?
Cada volta no circuito menor mede y. Então 2 voltas são 2y.
Se juntarmos tudo, temos 3x + 2y. Mas, pelo enunciado, a gente sabe que isso equivale a 1800 m.
Então:
3x + 2y = 1800
Dica 3
Veja esse outro trecho do enunciado:
corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1100 m.
Com essas informações, monte uma outra equação envolvendo x e y.
Resolução da Dica 3
2 voltas no circuito maior medem 2x
1 volta no circuito menor mede y.
Juntando tudo, dá 2x + y. Pela frase do enunciado, sabemos que isso vale 1100.
Logo:
2x + y = 1100
Dica 4
Temos um sistema de equações.
\begin{cases}
3x + 2y = 1800 \\
2x + y = 1100
\end{cases}
Resolva esse sistema e encontre o valores de x e y.
Resolução da Dica 4
\(\begin{cases}
3x + 2y = 1800 \\
2x + y = 1100
\end{cases}\)
Na segunda equação, vamos isolar o y
\(\begin{cases}
3x + 2y = 1800 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
Agora, vamos substituir o valor de y na primeira equação.
\(\begin{cases}
3x + 2.(1100 – 2x) = 1800 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
Fazendo a distributiva
\(\begin{cases}
3x + 2 . 1100 – 2 . 2x = 1800 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
3x + 2200 – 4x = 1800 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-x + 2200 = 1800 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-x = 1800 – 2200 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
-x = -400 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x = 400 \\
y = 1100 – 2x
\end{cases}\)
Substituindo o valor de x na segunda equação
\(\begin{cases}
x = 400 \\
y = 1100 – 2.400
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x = 400 \\
y = 1100 – 800
\end{cases}\)
\(\begin{cases}
x = 400 \\
y = 300
\end{cases}\)
O circuito maior mede 400 m e o circuito menor mede 300 m.
Dica 5
Veja essa frase do enunciado:
ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível.
Tente descobrir quantas voltas ele deve fazer no circuito menor e quantas no circuito maior.
Dica 6
Segundo o enunciado, o número de voltas deve ser o maior possível.
Para isso, o corredor deve priorizar o circuito pequeno.
Quantas voltas ele pode fazer no circuito pequeno até chegar em 5000 m?
Bom, vamos dividir 5000 por 300.
5000 / 300 = 16 e resto 200
Então, ele pode dar 16 voltas no circuito pequeno.
16 × 300 = 4800 m
16 voltas são 4800 m, e vão faltar mais 200 m para completar 5000.
No entanto, o enunciado diz o ele tem que dar um número inteiro de voltas, e esses 200 m que sobram seria um pedaço de volta e não uma volta inteira.
Conclusão: 16 voltas no circuito pequeno não funciona.
Agora, é a sua vez de continuar. Testa se 15 voltas no circuito pequeno funciona.
Dica 7
15 voltas no circuito pequeno dá:
15 × 300 = 4500 m
Então, irão faltar 500 m para completar 5000.
Bom, o circuito grande tem 400 m, e aqui a gente tem um problema.
Não tem como ele fazer 500 m dando voltas completas no circuito grande. Pois, 1 volta seria 400 m, e a segunda volta já daria 800 m, que passa de 500.
Então, 15 voltas no circuito pequeno não funciona.
Bom, então agora, tenta testar se 14 voltas no circuito pequeno funciona.
Resolução da Dica 7
14 voltas no circuito pequeno são:
14 × 300 = 4200 m
Então, vão faltar 800 m para completar 5000.
Agora, tudo encaixa certinho. 800 m são 2 voltas no circuito grande.
Beleza, então completamos a questão!
O corredor deve fazer 14 voltas no circuito pequeno e 2 voltas no circuito grande. Totalizando 14 + 2 = 16 voltas.
Resposta
Alternativa E
Comentário sobre a questão
Para resolver essa questão, primeiro tivemos que montar e resolver o sistema de equações com x e y. Depois, tivemos que chegar nos 5000 m na base da tentativa e erro. Essa questão apresentou uma complexidade grande. Então, como um treino, faça o seguinte agora. Refaça a questão, do início ao fim, mas sem consultar as dicas. Tente refazer totalmente por conta própria. Lembrando que a melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.
Essa questão é de nível difícil.
ENEM 2022 – Resolução Comentada – Matemática
Prova Amarela
Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Cinza
Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Azul
Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |
Prova Rosa
Q136 | Q137 | Q138 | Q139 | Q140 |
Q141 | Q142 | Q143 | Q144 | Q145 |
Q146 | Q147 | Q148 | Q149 | Q150 |
Q151 | Q152 | Q153 | Q154 | Q155 |
Q156 | Q157 | Q158 | Q159 | Q160 |
Q161 | Q162 | Q163 | Q164 | Q165 |
Q166 | Q167 | Q168 | Q169 | Q170 |
Q171 | Q172 | Q173 | Q174 | Q175 |
Q176 | Q177 | Q178 | Q179 | Q180 |