ENEM 2022 – A luminosidade L de uma estrela está relacionada com o raio R e com a temperatura T

(ENEM 2022) A luminosidade L de uma estrela está relacionada com o raio R e com a temperatura T dessa estrela segundo a Lei de Stefan-Boltzmann: L = c ⋅ R2 ⋅ T4, em que c é uma constante igual para todas as estrelas.

Disponível em: http://ciencia.hsw.uol.com.br. Acesso em: 22 nov. 2013 (adaptado).

Considere duas estrelas E e F, sendo que a estrela E tem metade do raio da estrela F e o dobro da temperatura
de F.

Indique por LE e LF suas respectivas luminosidades. A relação entre as luminosidades dessas duas estrelas é
dada por

A) \(L_E = \frac{L_F}{2}\)

B) \(L_E = \frac{L_F}{4}\)

C) LE = LF

D) LE = 4LF

E) LE = 8 LF

Dicas e Resolução

Veja a dica abaixo e depois tente continuar resolvendo a questão por conta própria. A melhor maneira de você progredir em matemática é resolvendo exercícios por conta própria.

Dica 1

Veja a seguinte frase do enunciado:

a estrela E tem metade do raio da estrela F e o dobro da temperatura de F.

Vamos dizer que RE e TE são o raio e a temperatura da estrela E.

Da mesma forma, vamos dizer que RF e TF são o raio e a temperatura da estrela F.

Com base na frase do enunciado acima, tente encontrar uma relação entre RE e RF. Depois tente encontrar uma relação entre TE e TF.

Resolução da Dica 1

O enunciado diz: “a estrela E tem metade do raio da estrela F”. Ou seja,

$$R_E = \frac{R_F}{2}$$

O enunciado também diz: “a estrela E tem […] o dobro da temperatura de F”. Assim,

$$T_E = 2.T_F$$

Dica 2

Agora, para continuar, aplique a expressâo do enunciado L = c ⋅ R2 ⋅ T4 para as estrelas E e F.

Resolução da Dica 2

Estrela E

A estrela E tem luminosidade LE, raio RE e temperatura TE.

Então a expressão para a estrela E fica:

$$L_E = c.R_E^2.T_E^4$$

Agora, uma pergunta. Por que, na fórmula acima, todas as letras LE, RE, TE tem o E, mas o c não tem?

Bom, o enunciado diz que c é uma constante igual para todas as estrelas.

LE, RE, TE são valores específicos para a estrela E. Porém o c é uma constante com o mesmo valor para todas as estrelas. Então o c não é específico da estrela E. Por isso que a gente pode colocar c na fórmula e não cE.

Estrela F

Da mesma forma, a estrela F tem a expressão:

$$L_F = c.R_F^2.T_F^4$$

Dica 3

A gente obteve essa expressão para a estrela E: LE = c ⋅ RE2 ⋅ TE4.

Na Dica 1, a gente obteve esses resultados:

\(R_E = \frac{R_F}{2}\) e \(T_E = 2.T_F\).

Agora é a sua vez. Substitua os resultados acima na expressão da estrela E. No lugar do RE, coloque \(\boldsymbol{\frac{R_F}{2}}\) e no lugar do TE coloque 2.TF.

Resolução da Dica 3

Vamos substituir esses resultados da Dica 1 na fórmula da estrela E.

\(L_E = c.R_E^2.T_E^4\)

No lugar de RE, colocamos \(\frac{R_F}{2}\) e no lugar do TE, colocamos 2.TF

\( \iff L_E = c. \left( \frac{R_F}{2} \right)^2.(2.T_F)^4 \)

\( \iff L_E = c. \left( \frac{R_F^2}{2^2} \right).(2^4.T_F^4)\)

\( \iff L_E = c. \left( \frac{R_F^2}{4} \right).(16.T_F^4)\)

\( \iff L_E = c. \left( \frac{R_F^2.16.T_F^4}{4} \right)\)

\( \iff L_E = c. R_F^2.4.T_F^4\)

\( \iff L_E = 4.c.R_F^2.T_F^4\)

Dica 4

Na dica anterior, chegamos na expressão \( L_E = 4.c.R_F^2.T_F^4\)

Tente relacionar essa expressão acima com a expressão da estrela F: \(L_F = c.R_F^2.T_F^4\)

Resolução da Dica 4

Note que as duas expressões são muito parecidas.

$$\begin{cases}
L_E = 4.c.R_F^2.T_F^4 \\
L_F = c.R_F^2.T_F^4
\end{cases}$$

A única diferença é que aparece o número 4 na primeira expressão.

Agora, vou te fazer uma pergunta. Quanto vale \(c.R_F^2.T_F^4\)?

Bom, olhando a segunda expressão, a gente consegue ver que \(c.R_F^2.T_F^4\) vale LF.

Agora, veja a primeira expressão: \(L_E = 4.c.R_F^2.T_F^4\).

Você viu que nessa expressão também aparece o \(c.R_F^2.T_F^4\)? No lugar dele, vamos colocar o LF.

LE = 4.c.RF2.TF4

\(\iff\) LE = 4.LF

Ahá! Chegamos na relação entre LE e LF.

LE = 4.LF

Resposta

Alternativa D

Comentário sobre a questão

Essa questão exige um pouco de familiaridade com o manuseio de equações. Praticamente todo ano, cai uma questão parecida com essa no ENEM. Então, é importante que você tenha muita prática em resolver questões desse tipo. Como um treino, faça o seguinte agora. Pegue uma folha de papel e refaça a questão, do início ao fim, mas sem consultar as dicas, totalmente por conta própria. Isso vai te ajudar muito a fixar bem os raciocínios usados para resolver essa questão.

Essa questão é de nível difícil.

ENEM 2022 – Resolução Comentada – Matemática

Prova Amarela

Q136Q137Q138Q139Q140
Q141Q142Q143Q144Q145
Q146Q147Q148Q149Q150
Q151Q152Q153Q154Q155
Q156Q157Q158Q159Q160
Q161Q162Q163Q164Q165
Q166Q167Q168Q169Q170
Q171Q172Q173Q174Q175
Q176Q177Q178Q179Q180

Prova Cinza

Q136Q137Q138Q139Q140
Q141Q142Q143Q144Q145
Q146Q147Q148Q149Q150
Q151Q152Q153Q154Q155
Q156Q157Q158Q159Q160
Q161Q162Q163Q164Q165
Q166Q167Q168Q169Q170
Q171Q172Q173Q174Q175
Q176Q177Q178Q179Q180

Prova Azul

Q136Q137Q138Q139Q140
Q141Q142Q143Q144Q145
Q146Q147Q148Q149Q150
Q151Q152Q153Q154Q155
Q156Q157Q158Q159Q160
Q161Q162Q163Q164Q165
Q166Q167Q168Q169Q170
Q171Q172Q173Q174Q175
Q176Q177Q178Q179Q180

Prova Rosa

Q136Q137Q138Q139Q140
Q141Q142Q143Q144Q145
Q146Q147Q148Q149Q150
Q151Q152Q153Q154Q155
Q156Q157Q158Q159Q160
Q161Q162Q163Q164Q165
Q166Q167Q168Q169Q170
Q171Q172Q173Q174Q175
Q176Q177Q178Q179Q180

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