Um segmento de reta está dividido em duas partes na proporção áurea quando o todo está para uma das partes na mesma razão em que essa parte está para a outra. Essa constante de proporcionalidade é comumente representada pela letra grega φ, e seu valor é dado pela solução positiva da equação φ2 = φ + 1.
Assim como a potência φ2, as potências superiores de φ podem ser expressas da forma aφ + b, em que a e b são inteiros positivos, como apresentado no quadro.
A potência φ7, escrita na forma aφ + B ( a e b são inteiros positivos), é
A) 5φ + 3
B) 7φ + 2
C) 9φ + 6
D) 11φ + 7
E) 13φ + 8
Questão 179 Prova Amarela, Questão 156 Prova Cinza, Questão 136 Prova Azul, Questão 149 Prova Rosa
Dicas e Resolução
Dica 1
A tabela do enunciado diz que φ6 = 8φ + 5.
O que acontece se a gente multiplicar os dois lados da equação acima por φ?
Resolução da Dica 1
φ6 = 8φ + 5
Vamos multiplicar os dois lados da equação acima por φ.
φ.φ6= φ.(8φ + 5)
<=> φ7 = 8φ2 + 5φ
Olha só, encontramos uma expressão para φ7.
Mas essa expressão não bate com nenhuma alternativa do enunciado … ela tem um termo com φ2, mas as alternativas não têm isso …
Agora é a sua vez de continuar! Tenta encontrar alguma maneira de lidar com esse termo φ2.
Dica 2
O enunciado nos diz que φ2 = φ + 1. Então, vamos usar isso para simplificar a nossa equação:
φ7 = 8φ2 + 5φ
Resolução da Dica 2
φ7 = 8φ2 + 5φ
No lugar do φ2, vamos colocar φ + 1. Então a equação fica:
φ7 = 8φ2 + 5φ
= 8.(φ+1) + 5φ
= 8φ + 8 + 5φ
= 13φ + 8
Ou seja:
φ7 = 13φ + 8
Resposta
Alternativa E
Resolução Comentada – ENEM 2021 – Matemática e suas Tecnologias
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