Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela , definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy – y² e x * y = xy + x.
O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb)*(bΔa) = 0 . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.
Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b=1.
Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será
A) \(\sqrt{5}\)
B) \(\sqrt{3}\)
C) \(\sqrt{1}\)
D) \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
E) \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
Questão 162 Prova Amarela, Questão 177 Prova Cinza, Questão 152 Prova Azul, Questão 163 Prova Rosa
Dicas e Resolução
Dica 1
O enunciado nos fornece a equação (aΔb)*(bΔa) = 0. O enunciado também nos diz que devemos utilizar b = 1.
Então, substituindo b por 1, a equação fica:
(aΔ1)*(1Δa) = 0
Vamos começar analisando a primeira parte dessa equação:
aΔ1
O enunciado também nos forneceu essa fórmula:
xΔy = x² + xy – y²
Agora é a sua vez de continuar! Utilize a fórmula acima para calcular aΔ1
Resolução da Dica 1
Usando a fórmula do enunciado xΔy = x² + xy – y², temos que:
aΔ1 = a2 + a.1 – 12 = a2 + a – 1
Concluímos que aΔ1 = a2 + a – 1
Dica 2
Agora repita o mesmo raciocínio para calcular 1Δa
Resolução da Dica 2
Vamos usar novamente a fórmula xΔy = x² + xy – y². Temos que:
1Δa = 12 + 1.a – a2
<=> 1Δa = 1 + a – a2
Dica 3
Agora vou te passar uma dica importante. Essa talvez seja a parte mais difícil da questão.
O enunciado nos diz que:
x * y = xy + x
Nessa fórmula acima, a expressão da direita é xy + x
Note que nessa expressão, podemos colocar o X em evidência. Então a expressão fica:
xy + x = x.(y + 1)
A gente conclui que x * y pode ser calculado como:
x * y = x.(y + 1)
Dica 4
Usando tudo o que a gente viu até agora, calcule a expressão (aΔ1)*(1Δa)
Resolução da Dica 4
Já sabemos que aΔ1 = a2 + a – 1 e também sabemos que 1Δa = 1 + a – a2. Então vamos substituir essas expressões na fórmula.
(aΔ1)*(1Δa) = (a2 + a – 1) * (1 + a – a2)
Agora, precisamos calcular (a2 + a – 1) * (1 + a – a2), aplicando a operação estrela (*). Como a gente faz isso?
Vamos usar o que calculamos na Dica 3: x * y = x.(y + 1).
x * y = x.(y + 1) : no lugar do x vamos colocar (a2 + a – 1) e no lugar do y vamos colocar (1 + a – a2)
(a2 + a – 1) * (1 + a – a2) = (a2 + a – 1) . ((1 + a – a2) + 1)
Continuando a conta, temos:
(a2 + a – 1) . ((1 + a – a2) + 1) = (a2 + a – 1) . (1 + a – a2 + 1) = (a2 + a – 1) . (2 + a – a2)
Conclusão: calculamos que (aΔ1)*(1Δa) = (a2 + a – 1) . (2 + a – a2)
O enunciado monta a equação igualando (aΔ1)*(1Δa) a zero.
Então a gente pode dizer que (a2 + a – 1) . (2 + a – a2) é igual a zero.
(a2 + a – 1) . (2 + a – a2) = 0
Dica 5
Da dica anterior, nós temos que:
(a2 + a – 1) . (2 + a – a2) = 0
Nosso próximo passo é calcular as raízes da equação acima. Mas, como fazemos isso?
Note que na expressão acima, a multiplicação de dois termos vale zero. O que isso quer dizer?
Quer dizer que ou o primeiro termo vale zero ou o segundo termo vale zero.
a2 + a – 1 = 0 ou 2 + a – a2 = 0
Agora ficou mais fácil! Basta a gente calcular as raízes de cada uma das equações acima! Sua vez de continuar!
Resolução da Dica 5
Vamos começar calculando as raízes dessa equação:
a2 + a – 1 = 0
Como a gente resolve essa equação? Bom, a gente pode fazer isso pela fórmula do delta. As raízes ficam:
\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) ou \(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)
Agora, vamos para a equação:
2 + a – a2 = 0
Apenas para ficar mais organizado, vamos rearranjar os termos da expressão:
-a2 + a + 2 = 0
Essa podemos resolver por soma e produto. A soma das raízes vale 1, e o produto vale -2.
Agora, temos que chutar dois valores que tenham soma 1 e produto -2.
Podemos concluir que as raízes são 2 e -1. (você pode checar que a soma vale 1 e o produto vale -2).
Então, as raízes que a gente encontrou foram:
\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
\(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)
\(a = 2\)
\(a = -1\)
Dica 6
O enunciado fala sobre a soma das duas maiores soluções da equação. Então, dentre as raízes que encontramos na dica anterior, temos que descobrir quais são as duas maiores.
\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
\(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)
\(a = 2\)
\(a = -1\)
Quais dessas quatro raízes são as maiores? Vou te dar uma ajudinha: duas das raízes acima são positivas e duas são negativas.
Resolução da Dica 6
Vamos começar analisando:
\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
O numerador dessa fração é positivo, pois \(\sqrt{5}\) é maior que 1. Então, concluímos que essa raiz é positiva.
Agora, vamos analizar:
\(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)
O numerador dessa fração é negativo, pois ele tem duas parcelas negativas. Então essa raíz é negativa
Vamos continuar para a próxima raiz:
\(a = 2\)
Essa raíz é positiva.
E finalmente:
\(a = -1\)
Essa raíz é negativa
Você percebeu que temos duas raízes positivas e duas raízes negativas? Então agora ficou fácil! Quais são as duas maiores raízes? Bom, são as duas positivas!
\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
\(a = 2\)
Dica 7
Para finalizar, calcule a soma das duas maiores raízes:
\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)
\(a = 2\)
Resolução da Dica 7
\(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + 2\)
\(=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{4}{2}\)
\(=\frac{-1 + \sqrt{5} + 4}{2}\)
\(=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)
Resposta
Alternativa E
Resolução Comentada – ENEM 2021 – Matemática e suas Tecnologias
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