ENEM 2021 – Para a comunicação entre dois navios

Para a comunicação entre dois navios é utilizado um sistema de codificação com base em valores numéricos. Para isso, são consideradas as operações triângulo Δ e estrela , definidas sobre o conjunto dos números reais por xΔy = x² + xy – y² e x * y = xy + x.

O navio que deseja enviar uma mensagem deve fornecer um valor de entrada b, que irá gerar um valor de saída, a ser enviado ao navio receptor, dado pela soma das duas maiores soluções da equação (aΔb)*(bΔa) = 0 . Cada valor possível de entrada e saída representa uma mensagem diferente já conhecida pelos dois navios.

Um navio deseja enviar ao outro a mensagem “ATENÇÃO!”. Para isso, deve utilizar o valor de entrada b=1.

Dessa forma, o valor recebido pelo navio receptor será

A) \(\sqrt{5}\)

B) \(\sqrt{3}\)

C) \(\sqrt{1}\)

D) \(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

E) \(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)

Questão 162 Prova Amarela, Questão 177 Prova Cinza, Questão 152 Prova Azul, Questão 163 Prova Rosa

Dicas e Resolução

Dica 1

O enunciado nos fornece a equação (aΔb)*(bΔa) = 0. O enunciado também nos diz que devemos utilizar b = 1.

Então, substituindo b por 1, a equação fica:

(aΔ1)*(1Δa) = 0

Vamos começar analisando a primeira parte dessa equação:

aΔ1

O enunciado também nos forneceu essa fórmula:

xΔy = x² + xy – y²

Agora é a sua vez de continuar! Utilize a fórmula acima para calcular aΔ1

Resolução da Dica 1

Usando a fórmula do enunciado xΔy = x² + xy – y², temos que:

aΔ1 = a2 + a.1 – 12 = a2 + a – 1

Concluímos que aΔ1 = a2 + a – 1

Dica 2

Agora repita o mesmo raciocínio para calcular 1Δa

Resolução da Dica 2

Vamos usar novamente a fórmula xΔy = x² + xy – y². Temos que:

1Δa = 12 + 1.a – a2

<=> 1Δa = 1 + a – a2

Dica 3

Agora vou te passar uma dica importante. Essa talvez seja a parte mais difícil da questão.

O enunciado nos diz que:

x * y = xy + x

Nessa fórmula acima, a expressão da direita é xy + x

Note que nessa expressão, podemos colocar o X em evidência. Então a expressão fica:

xy + x = x.(y + 1)

A gente conclui que x * y pode ser calculado como:

x * y = x.(y + 1)

Dica 4

Usando tudo o que a gente viu até agora, calcule a expressão (aΔ1)*(1Δa)

Resolução da Dica 4

Já sabemos que aΔ1 = a2 + a – 1 e também sabemos que 1Δa = 1 + a – a2. Então vamos substituir essas expressões na fórmula.

(aΔ1)*(1Δa) = (a2 + a – 1) * (1 + a – a2)

Agora, precisamos calcular (a2 + a – 1) * (1 + a – a2), aplicando a operação estrela (*). Como a gente faz isso?

Vamos usar o que calculamos na Dica 3: x * y = x.(y + 1).

x * y = x.(y + 1) : no lugar do x vamos colocar (a2 + a – 1) e no lugar do y vamos colocar (1 + a – a2)

(a2 + a – 1) * (1 + a – a2) = (a2 + a – 1) . ((1 + a – a2) + 1)

Continuando a conta, temos:

(a2 + a – 1) . ((1 + a – a2) + 1) = (a2 + a – 1) . (1 + a – a2 + 1) = (a2 + a – 1) . (2 + a – a2)

Conclusão: calculamos que (aΔ1)*(1Δa) = (a2 + a – 1) . (2 + a – a2)

O enunciado monta a equação igualando (aΔ1)*(1Δa) a zero.

Então a gente pode dizer que (a2 + a – 1) . (2 + a – a2) é igual a zero.

(a2 + a – 1) . (2 + a – a2) = 0

Dica 5

Da dica anterior, nós temos que:

(a2 + a – 1) . (2 + a – a2) = 0

Nosso próximo passo é calcular as raízes da equação acima. Mas, como fazemos isso?

Note que na expressão acima, a multiplicação de dois termos vale zero. O que isso quer dizer?

Quer dizer que ou o primeiro termo vale zero ou o segundo termo vale zero.

a2 + a – 1 = 0 ou 2 + a – a2 = 0

Agora ficou mais fácil! Basta a gente calcular as raízes de cada uma das equações acima! Sua vez de continuar!

Resolução da Dica 5

Vamos começar calculando as raízes dessa equação:

a2 + a – 1 = 0

Como a gente resolve essa equação? Bom, a gente pode fazer isso pela fórmula do delta. As raízes ficam:

\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\) ou \(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)

Agora, vamos para a equação:

2 + a – a2 = 0

Apenas para ficar mais organizado, vamos rearranjar os termos da expressão:

-a2 + a + 2 = 0

Essa podemos resolver por soma e produto. A soma das raízes vale 1, e o produto vale -2.

Agora, temos que chutar dois valores que tenham soma 1 e produto -2.

Podemos concluir que as raízes são 2 e -1. (você pode checar que a soma vale 1 e o produto vale -2).

Então, as raízes que a gente encontrou foram:

\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

\(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)

\(a = 2\)

\(a = -1\)

Dica 6

O enunciado fala sobre a soma das duas maiores soluções da equação. Então, dentre as raízes que encontramos na dica anterior, temos que descobrir quais são as duas maiores.

\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

\(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)

\(a = 2\)

\(a = -1\)

Quais dessas quatro raízes são as maiores? Vou te dar uma ajudinha: duas das raízes acima são positivas e duas são negativas.

Resolução da Dica 6

Vamos começar analisando:

\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

O numerador dessa fração é positivo, pois \(\sqrt{5}\) é maior que 1. Então, concluímos que essa raiz é positiva.

Agora, vamos analizar:

\(a = \frac{-1 – \sqrt{5}}{2}\)

O numerador dessa fração é negativo, pois ele tem duas parcelas negativas. Então essa raíz é negativa

Vamos continuar para a próxima raiz:

\(a = 2\)

Essa raíz é positiva.

E finalmente:

\(a = -1\)

Essa raíz é negativa

Você percebeu que temos duas raízes positivas e duas raízes negativas? Então agora ficou fácil! Quais são as duas maiores raízes? Bom, são as duas positivas!

\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

\(a = 2\)

Dica 7

Para finalizar, calcule a soma das duas maiores raízes:

\(a = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\)

\(a = 2\)

Resolução da Dica 7

\(\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + 2\)

\(=\frac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{4}{2}\)

\(=\frac{-1 + \sqrt{5} + 4}{2}\)

\(=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\)

Resposta

Alternativa E

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