(ENEM 2020) Três amigos, André, Bernardo e Carlos, moram em um condomínio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localização das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condomínio, em que nos pontos A, B e C estão localizados as casas de André, Bernardo e Carlos, respectivamente.
André deseja deslocar-se da sua casa até a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condomínio, fazendo sempre deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑), segundo o esquema da figura.
O número de diferentes caminhos que André poderá utilizar para realizar o deslocamento nas condições propostas é
A) 4
B) 14
C) 17
D) 35
E) 48
Dicas e Resolução
Dica 1
O enunciado pede a quantidade de caminhos possíveis para ir do ponto A ao ponto B, sem passar pelo ponto C.
Mas, vamos começar estudando uma questão mais simples:
Quantos caminhos existem saindo do ponto A para o ponto B, sempre fazendo deslocamentos para a direita (→) ou para cima (↑)?
Note que aqui desconsideramos a restrição de não poder passar pelo ponto C.
Resolução da Dica 1
Vamos estudar, como exemplo, alguns possíveis caminhos do ponto A para o ponto B.
Nesse exemplo acima, o caminho percorrido foi:
↑ ↑ → → → ↑ →
Nesse outro exemplo, o caminho percorrido foi:
↑ → ↑ → ↑ → →
Nesse último exemplo, o caminho percorrido foi:
→ → ↑ ↑ → → ↑
Você reparou em uma coisa?
Todos os caminhos são sempre formados por 4 setas para direita (→) e 3 setas para cima (↑), dispostos em alguma ordem.
No final das contas, cada caminho de A até B pode ser representado por uma sequência formada por 4 setas para direita (→) e 3 setas para cima (↑).
Então, agora a pergunta é:
Quantas sequências diferentes podem ser formadas utilizando 4 setas para direita (→) e 3 setas para cima (↑)?
Bom, juntando 4 setas para a direita e 3 setas para cima, temos 7 caracteres.
Se a gente tivesse disponível 7 caracteres diferentes, a quantidade de sequências seria 7!
Porém, nossos caracteres não são todos diferentes. Temos 4 caracteres repetidos (→) e 3 caracteres repetidos (↑).
Então, a quantidade de sequências que podemos formar é:
$$\frac{7!}{4!.3!}$$
\(\frac{7!}{4!.3!} = \frac{7.6.5.4!}{4!.3!} = \frac{7.6.5}{3!}\)
\(=\frac{7.6.5}{3.2.1}=7.5 = 35\)
Então, do ponto A ao ponto B existem 35 caminhos possíveis.
Dica 2
Voltando para a pergunta do enunciado: o número de caminhos diferentes entre A e B, sem passar pelo ponto C.
Como a gente pode calcular isso?
A gente já sabe que no total, existem 35 caminhos diferentes do ponto A ao ponto B.
Agora, vou te dar uma ideia. Vamos calcular quantos caminhos existem de A a B, passando obrigatoriamente pelo ponto C.
No final, para calcular o número de caminhos sem passar pelo ponto C, podemos pegar o Total e subtrair os caminhos que passam obrigatoriamente pelo ponto C.
Caminhos que não passam por C = Total – Caminhos que passam por C.
Então, nossa tarefa agora é calcular quantos caminhos existem, passando obrigatoriamente pelo ponto C.
Resolução da Dica 2
A gente pode começar calculando quantos caminhos existem entre o ponto A e o ponto C.
Para ir do Ponto A ao Ponto C, é necessário andar 2 vezes para a direita e 2 vezes para cima, em alguma ordem.
Então os caminhos de A a C podem ser representados por sequências formadas por 2 setas para direita (→) e 2 setas para cima (↑).
Quantas sequências existem, com 2 setas para direita (→) e 2 setas para cima (↑)?
Bom, se fossem 4 caracteres distintos, seriam 4! sequências.
Mas, temos caracteres repetidos: 2 setas para direita (→) e 2 setas para cima (↑).
Então, a quantidade de sequências é:
$$\frac{4!}{2!.2!}$$
\(\frac{4!}{2!.2!} = \frac{4.3.2!}{2!.2!} = \frac{4.3}{2!}\)
\(=\frac{4.3}{2.1}=2.3 = 6\)
Existem 6 caminhos distintos para ir do Ponto A ao Ponto C.
Agora, vamos calcular quantos caminhos existem para ir do Ponto C ao Ponto B.
Os caminhos de C a B são formados por 2 setas para direita (→) e 1 setas para cima (↑).
Quantas sequências existem com 2 setas para direita (→) e 1 setas para cima (↑)?
Se fossem 3 caracteres distintos, seriam 3! sequências. Porém, há 2 caracteres repetidos (→), então o número de sequências é:
$$\frac{3!}{2!}$$
\(\frac{3!}{2!} = \frac{3.2!}{2!} = 3\)
Existem 3 caminhos distintos entre C e B.
Calculamos que existem 6 caminhos distintos entre A e C. E que existem 3 caminhos distintos entre C e B.
Então, quantos caminhos existem para ir de A até C, e depois de C até B?
Basta multiplicarmos os dois valores:
6 x 3 = 18
Existem 18 caminhos distintos de A até B, passando obrigatoriamente por C.
Dica 3
No total são 35 caminhos distintos de A até B. Desses 35 caminhos, 18 passam por C.
Quantos caminhos existem entre A e B, que não passam por C?
Resolução da Dica 3
Basta pegarmos o total de 35 caminhos, e subtrairmos os 18 caminhos que passam por C.
35 – 18 = 17
Existem 17 caminhos de A até B, que não passam por C.
Resposta
Alternativa C
