(ENEM 2020) Pergolado é o nome que se dá a um tipo de cobertura projetada por arquitetos, comumente em praças e jardins, para criar um ambiente para pessoas ou plantas, no qual há uma quebra da quantidade de luz, dependendo da posição do sol. É feito como um estrado de vigas iguais, postas paralelas e perfeitamente em fila, como ilustra a figura.
Um arquiteto projeta um pergolado com vãos de 30 cm de distância entre suas vigas, de modo que, no solstício de verão, a trajetória do sol durante o dia seja realizada num plano perpendicular à direção das vigas, e que o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino, gere a metade da luz que passa no pergolado ao meio-dia.
Para atender à proposta do projeto elaborado pelo arquiteto, as vigas do pergolado devem ser construídas de maneira que a altura, em centímetro, seja a mais próxima possível de
A 9.
B 15.
C 26.
D 52.
E 60.
Dicas e Resolução
Dica 1
A figura abaixo mostra os raios de sol passando pelas vigas, ao meio-dia.
Note que toda a região entre as vigas está iluminada. Então, temos 30 cm de região iluminada.
Agora, esta figura abaixo mostra o sol da tarde, no momento em que seus raios fizerem 30° com a posição a pino.
Note que agora, os raios de Sol atingem apenas metade da região entre as vigas. Então agora, temos 15 cm de região iluminada e 15 cm de região escura.
Nossa tarefa nessa questão é calcular qual é a altura da viga. Nessa última figura, você reparou que existe um triângulo retângulo com um ângulo de 30°? Agora, utilize esse triângulo retângulo para calcular a altura da viga.
Dica 2
Nesse triângulo retângulo, conhecemos dois ângulos, 30° e 90° e também a medida de um dos catetos, 15 cm.
Para calcular a altura do triângulo, podemos usar as relações trigonométricas.
Uma relação trigonométrica que devemos conhecer é:
\(tg 30^o = \frac{\sqrt{3}}{3}\)
Num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo é o cateto oposto dividido pelo cateto adjacente.
Então, pelo triângulo da figura:
\(tg 30^o = \frac{15}{altura}\)
Substituindo \(tg30^o\) por \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), temos:
\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{15}{altura}\)
\(\iff altura \times \frac{\sqrt{3}}{3} = 15\)
\(\iff altura = 15 \times \frac{3}{\sqrt{3}}\)
\(\iff altura = \frac{45}{\sqrt{3}}\)
\(\iff altura = \frac{45 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}}\)
\(\iff altura = \frac{45 \sqrt{3}}{3}\)
\(\iff altura = 15 \sqrt{3}\)
Mas, uma informação que temos que saber é que \(\sqrt{3}\) é aproximadamente 1,7. Então, substituindo na equação:
\(altura = 15 \sqrt{3} = 15 \times 1,7 = 25,5\)
Calculamos a altura da viga! Ela vale aproximadamente 25,5 cm.
Dentre as alternativas, o valor mais próxima a 25,5 é o 26, na Alternativa C.
Resposta
Alternativa C