ENEM 2020 – O artista gráfico holandês

(ENEM 2020) O artista gráfico holandês Maurits Cornelius Escher criou belíssimas obras nas quais as imagens se repetiam, com diferentes tamanhos, induzindo ao raciocínio de repetição infinita das imagens. Inspirado por ele, um artista fez um rascunho de uma obra na qual propunha a ideia de construção de uma sequência de infinitos quadrados, cada vez menores, uns sob os outros, conforme indicado na figura.

O quadrado PRST, com lado de medida 1, é o ponto de partida. O segundo quadrado é construído sob ele tomando-se o ponto médio da base do quadrado anterior e criando-se um novo quadrado, cujo lado corresponde à metade dessa base. Essa sequência de construção se repete recursivamente.

Qual é a medida do lado do centésimo quadrado construído de acordo com esse padrão?

A) \((\frac{1}{2})^{100}\)

B) \((\frac{1}{2})^{99}\)

C) \((\frac{1}{2})^{97}\)

D) \((\frac{1}{2})^{-98}\)

E) \((\frac{1}{2})^{-99}\)

Dicas e Resolução

Dica 1

O 1^o quadrado tem lado 1.

O 2^o quadrado tem lado igual à metade do lado do quadrado anterior.

\( 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

O 3^o quadrado tem lado igual à metade do lado do quadrado anterior.

\(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\)

Pergunta: Qual a medida do lado do 4^o quadrado? E do 5^o quadrado?

Resolução da Dica 1

O lado do 4^o quadrado é igual à metade do lado do quadrado anterior.

\( \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \)

O lado do 5^o quadrado é igual à metade do lado do 4^o quadrado.

\( \frac{1}{8} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \)

E assim continua. Se a gente quiser calcular as medidas do 6^o, 7^o, 8^o quadrados, basta continuarmos multiplicando os lados por \(\frac{1}{2}\)

Dica 2

As alternativas da questão estão todas na notação exponencial. Então, vamos tentar colocar na notação exponencial as medidas dos lados dos quadrados (que calculamos na dica anterior).

2^o quadrado – o lado mede \(\frac{1}{2}\). Na notação exponencial fica:

\(\frac{1}{2} = (\frac{1}{2}) ^ 1 \)

3^o quadrado – o lado mede \(\frac{1}{4}\). Na notação exponencial fica:

\(\frac{1}{4} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2 \)

4^o quadrado – o lado mede \(\frac{1}{8}\). Na notação exponencial fica:

\(\frac{1}{8} = \frac{1}{4}.\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2 . \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3\)

5^o quadrado – o lado mede \(\frac{1}{16}\). Na notação exponencial fica:

\(\frac{1}{16} = \frac{1}{8}.\frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3 . \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^4\)

Dica 3

As medidas dos lados dos quadrados são:

Quadrado	Medida do lado
2o	\((\frac{1}{2})^1\)
3o	\((\frac{1}{2})^2\)
4o	\((\frac{1}{2})^3\)
5o	\((\frac{1}{2})^4\)

Você reparou numa coisa? O expoente da fração é sempre um a menos que a ordem do quadrado.

Por exemplo, no 2^o quadrado, o lado mede \((\frac{1}{2})^1\). O expoente é 1, a ordem do quadrado é 2. Ou seja, o expoente é um a menos que a ordem do quadrado.

Outro exemplo, no 4^o quadrado, o lado mede \((\frac{1}{2})^3\). Então, o expoente vale 3 e a ordem do quadrado é 4. Aqui também, o expoente é um a menos que a ordem do quadrado.

Se você examinar a tabela acima com atenção, você vai perceber que em todos os casos, o expoente é um a menos que a ordem do quadrado.

Então, agora é a sua vez de responder:

Qual é a medida do lado do 100^o quadrado?

Resolução da Dica 3

Bom, a gente viu que o expoente é um a menos que a ordem do quadrado.

Então, para o 100^o quadrado, o expoente será 99.

Logo, a medida do lado vale: \((\frac{1}{2})^{99}\).

Resposta

Alternativa B