(ENEM 2020) Nos livros Harry Potter, um anagrama do nome do personagem “TOM MARVOLO RIDDLE” gerou a frase “I AM LORD VOLDEMORT”.
Suponha que Harry quisesse formar todos os anagramas da frase “I AM POTTER”, de tal forma que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Nessas condições, o número de anagramas formados é dado por:
A – 9!
B – 4!5!
C – 2 x 4! 5!
D – 9! / 2
E – 4!5! / 2
Dicas e Resolução
Dica 1:
O que é um anagrama?
A gente forma um anagrama quando “embaralha” as letras de uma frase.
Por exemplo, para a frase “CELULAR”, alguns exemplos de anagrama são:
“RECLALU”
“LRLUCAE”
“CAELLRU”
“AEUCRLL”
Note que os anagramas são formados por exatamente as mesmas letras que a frase original, porém apenas a ordem das letras muda.
Dica 2:
Na frase “I AM POTTER”, quantas vogais existem? Quantos consoantes existem?
Resolução da Dica 2:
As vogais são 4:
I, A, O, E
As consoantes são 5:
M, P, T, T, R
Dica 3:
O enunciado pede os anagramas em que as vogais e consoantes aparecessem sempre intercaladas, e sem considerar o espaçamento entre as letras.
Liste alguns exemplos de anagramas seguindo esses critérios do enunciado.
Resolução da Dica 3:
Alguns exemplos de anagrama, seguindo os critérios do enunciado são:
“MIPATOTER”
“PETATIROM”
“TOTEPAMIR”
“RETATOPIM”
Vendo esses exemplos, a gente consegue notar um ponto importante para resolver essa questão.
Para intercalar 5 consoantes e 4 vogais o formato dos anagramas deve seguir esse padrão:
CVCVCVCVC
Os anagramas formados devem sempre começar com uma consoante, seguido de uma vogal, seguido de uma consoante, e assim continua, até terminar com uma consoante.
Dica 4:
Temos que formar uma frase com 9 letras.
_ _ _ _ _ _ _ _ _
A primeira letra é uma consoante. Quantas escolhas temos para a primeira letra?
Bom, podemos escolher qualquer uma das 5 consoantes, então temos 5 escolhas para a primeira letra.
5 _ _ _ _ _ _ _ _
A segunda letra é uma vogal. Quantas escolhas temos para essa vogal?
Podemos escolher qualquer uma das 4 vogais.
5.4 _ _ _ _ _ _ _
A terceira letra é uma consoante. Quantas escolhas temos para essa consoante?
Podemos escolher qualquer uma das consoantes, exceto aquela que já foi usada na primeira casa. Então, temos 4 escolhas.
5.4.4 _ _ _ _ _ _
A quarta letra é uma vogal. Quantas escolhas temos para essa vogal?
Podemos escolher qualquer vogal, exceto a que já foi usada na segunda casinha. Então, são 3 escolhas possíveis.
5.4.4.3 _ _ _ _ _
Continuando o raciocínio, a gente obtém a seguinte multiplicação:
5.4.4.3.3.2.2.1.1
Se a gente rearranjar os termos, a multiplicação fica:
4.3.2.1.5.4.3.2.1
Nesse caso, a gente pode notar os quatro primeiros termos da multiplicação equivalem a 4! e os 5 últimos termos equivalem a 5!
Então a multiplicação é igual a 4!5!
Dica 5:
Note que existem duas letras “T” na frase.
Ao efetuarmos a multiplicação 4!5!, estamos contando repetidamente o mesmo anagrama duas vezes.
Por exemplo:
“MIPAT1OT2ER”
“MIPAT2OT1ER”
Na multiplicação 4!5!, esses dois casos acima são considerados como diferentes. Porém, sabemos que eles representam o mesmo anagrama:
“MIPATOTER”
Então, para completar a questão devemos dividir 4!5! por 2.
Conclusão: o número total de anagramas é 4!5! / 2
Resposta
Alternativa E
