(ENEM 2020) A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano Geoge Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por
\(f=\frac{A}{r^B}\)
O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas.
Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado).
Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B.
No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é
A) \(Y=log(A) – B.X\)
B) \(Y=\frac{log(A)}{X+log(B)}\)
C) \(Y=\frac{log(A)}{B}-X\)
D) \(Y=\frac{log(A)}{B.X}\)
E) \(Y=\frac{log(A)}{X^B}\)
Dicas e Resolução
Dica 1
Para resolver essa questão, vamos precisar relembrar algumas propriedades do log.
1) Log da divisão é igual à subtração dos logs
\(log(\frac{C}{D})=log(C) – log(D)\)
2) Quando temos o log de um expoencial, o expoente “tomba” pra fora
\(log(C^D) = D.log(C)\)
Dica 2
O enunciado diz que Y = log (f). Vamos calcular quanto vale Y. Para isso, podemos usar também uma outra expressão dada pela questão: \(f=\frac{A}{r^B}\)
\(Y = log(f) = log(\frac{A}{r^B})\)
Agora é a sua vez de continuar!
Dica 3
\(Y = log(\frac{A}{r^B})\)
Para continuar, podemos aplicar a propriedade de que o log da divisão é a subtração dos logs.
\(Y = log(\frac{A}{r^B}) = log(A) – log(r^B)\)
Dica 4
\(Y = log(A) – log(r^B)\)
Podemos aplicar agora a propriedade de que o expoente “tomba” para fora do log.
\(Y = log(A) – log(r^B) = log(A) – B.log(r)\)
Lembrando, pelo enunciado, que log(r) = X. Então substituindo na expressão, temos:
\(Y = log(A) – B.log(r) = log(A) – B.X\)
Resposta
Alternativa A