ENEM 2019 PPL – Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias

(ENEM 2019 PPL) Em um laboratório, cientistas observaram o crescimento de uma população de bactérias submetida a uma dieta magra em fósforo, com generosas porções de arsênico. Descobriu-se que o número de bactérias dessa população, após t horas de observação, poderia ser modelado pela função exponencial N(t) = N₀e^kt, em que N₀ é o número de bactérias no instante do início da observação (t = 0) e representa uma constante real maior que 1, e k é uma constante real positiva.

Sabe-se que, após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.

Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias, em relação ao número inicial dessa cultura, foi

A) 3N₀
B) 15N₀
C) 243N₀
D) 360N₀
E) 729N₀

Dicas e Resolução

Dica 1

Assista o vídeo abaixo, que você terá uma dica para resolver a questão.

Para começar esse exercício, vamos primeiro relembrar uma propriedade importante dos exponenciais.

Quanto vale \(5^{3 \times 4}\)?

\(5^{3 \times 4}\) é igual a \((5^3)^4\).

Mais um exemplo:

\(4^{2 \times 3}\) é equivalente a \((4^2)^3\).

Último exemplo: quanto vale \(y^{A \times B}\)?

\(y^{A \times B}=(y^A)^B\)

Agora que relembramos essa propriedade dos exponenciais, é a sua vez de continuar resolvendo a questão!

Dica 2

Assista aqui mais uma dica para a resolução da questão.

Segundo o enunciado, o número de bactérias no início é N₀.

O enunciado também diz: “após uma hora de observação, o número de bactérias foi triplicado.”

Ou seja, após uma hora, o número de bactéria é 3N₀.

Mas, a gente pode também utilizar a expressão do enunciado:

No instante t, o número de bactérias é N₀e^kt

Assim, no instante t = 1 hora, o número de bactérias é

N(1) = N₀e^k.1 = N₀e^k

Então, a gente calculou de duas formas diferente o número de bactérias depois de 1 hora.

Depois de 1 hora, calculamos o número de bactérias como 3N₀ e também como N₀e^k

Com isso, a gente pode montar uma equação:

\(3N_0 = N_0 e^k\)

Cancelando o N₀ dos dois lados:

\(\iff 3 = e^k\)

\(\iff e^k = 3\)

Conclusão: calculamos que \(e^k = 3\)

Vamos lá, agora é a sua vez de continuar a questão!

Resolução da Dica 2

Assista aqui a conclusão da resolução da questão.

Como podemos calcular o número de bactéria após 5 horas?

Basta substituirmos t = 5 horas na expressão N(t) = N₀e^kt

Temos que: N(5) = N₀e^k.5

Após 5 horas o número de bactérias é N₀e^k.5

Na expressão acima, a gente pode aplicar a propriedade do exponencial que vimos lá no início.

\(N_0.e^{k.5} = N_0.(e^k)^5\)

Mas, a gente já calculou que \(e^k = 3\). Logo,

\(N_0.(e^k)^5 = N_0.3^5\)

Beleza, e quanto vale \(3^5\)? Basta multiplicarmos:

3 x 3 x 3 x 3 x 3

Se fizermos a conta, a gente chega que \(3^5 = 243\)

Então, para concluir:

\(N_0.3^5 = N_0.243\)

Invertendo a ordem dos fatores, temos:

\(N_0.243 = 243.N_0\)

Conclusão: Após 5 horas, o número de bactérias é 243N₀

Resposta

Alternativa C

Cinco horas após o início da observação, o número de bactérias é 243N₀