ENEM 2019 – Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão

(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão dentro da câmara de combustão está representado na figura.

(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão
(ENEM 2019) Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão

A função \(h(t) = 4 + 4sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2})\) definida para \(t \ge 0\) descreve como varia a altura h, medida em centímetros, da parte superior do pistão dentro da câmara de combustão, em função do tempo t, medido em segundo. Nas figuras estão indicadas as alturas do pistão em dois instantes distintos.

O valor do parâmetro \(\beta\), que é dado por um número inteiro positivo, está relacionado com a velocidade de deslocamento do pistão. Para que o motor tenha uma boa potência, é necessário e suficiente que, em menos de 4 segundos após o início do funcionamento (instante t = 0), a altura da base do pistão alcance por três vezes o valor de 6 cm. Para os cálculos, utilize 3 como aproximação para \(\pi\).

O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro \(\beta\), de forma que o motor a ser construído tenha boa potência, é

A) 1
B) 2
C) 4
D) 5
E) 8

Resolução

O enunciado afirma que h(t) deve alcançar três vezes o valor de 6 cm. Então vamos estudar quando que acontece de h(t) ser igual a 6

\(h(t) = 6\)

\(\iff 4 + 4sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}) = 6\)

\(\iff 4sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}) = 2\)

\(\iff sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}\)

Então, para que h(t) seja igual a 6, o valor do seno deve ser \(\frac{1}{2}\)

Além disso, o enunciado diz que h(t) deve alcançar três vezes o valor 6. Para que isso aconteça, o seno deve alcançar três vezes o valor \(\frac{1}{2}\).

Mas, quando que o seno atinge o valor de \(\frac{1}{2}\)? A gente pode ver isso pelo círculo trigonométrico.

ENEM 2019 - Um grupo de engenheiros está projetando um motor cujo esquema de deslocamento vertical do pistão

Pelo círculo trigonométrico, a gente vê que o seno atinge o valor \(\frac{1}{2}\) nos ângulos \(\frac{\pi}{6}\) e \(\frac{5\pi}{6}\).

Agora vamos estudar a expressão do seno com mais detalhes:

\(sen(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2})\)

Mais precisamente, vamos estudar o ângulo dentro do seno.

\(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}\)

Logo no início, a gente sabe que t = 0. Nesse instante, quanto vale o ângulo? Basta substituir t por zero na expressão.

\(\frac{\beta \times 0}{2} – \frac{\pi}{2} = – \frac{\pi}{2}\)

Então, a gente já sabe que no instante inicial, o ângulo \(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}\) vale \(-\frac{\pi}{2}\)

Conforme o tempo vai passando, o valor do ângulo \(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2}\) vai aumentando. Eventualmente, o ângulo vai atingir o valor de \(\frac{\pi}{6}\). Nesse instante, o seno irá valer \(\frac{1}{2}\) pela primeira vez. E consequentemente, h(t) irá valer 6 pela primeira vez.

Depois disso, passando mais tempo, o ângulo vai continuar aumentando. Uma hora o ângulo vai atingir o valor de \(\frac{5\pi}{6}\). Nesse momento, o seno irá valer \(\frac{1}{2}\) pela segunda vez.

Agora, tenho uma pergunta. Quando que o seno irá valer \(\frac{1}{2}\) pela terceira vez?

Bom, pelo círculo trigonométrico, a gente viu que o seno tem o valor de \(\frac{1}{2}\) nos ângulos \(\frac{\pi}{6}\) e \(\frac{5\pi}{6}\).

Para que o seno atinja \(\frac{1}{2}\) pela terceira vez, é necessário que a gente dê uma volta completa no círculo, e depois ande mais \(\frac{\pi}{6}\). Uma volta completa a gente sabe que é \(2\pi\).

Então, o ângulo que estamos procurando é \(2\pi + \frac{\pi}{6}\). Fazendo as contas temos:

\(2\pi + \frac{\pi}{6}\)

\(= \frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}\)

Conclusão: quando o ângulo atinge \(\frac{13\pi}{6}\), o seno terá o valor de \(\frac{1}{2}\) pela terceira vez. Consequentemente, h(t) terá o valor de 6 pela terceira vez.

O enunciado diz que em menos de 4 segundos, h(t) deve atingir o valor de 6 cm pela terceira vez. O que a gente pode concluir disso?

Concluímos que: o ângulo deve atingir \(\frac{13\pi}{6}\) antes do instante t = 4.

Isso implica que: no instante t = 4, o ângulo já deve ser maior do que \(\frac{13\pi}{6}\)

Agora, vamos montar a inequação:

No instante t = 4, temos que

\(\frac{\beta t}{2} – \frac{\pi}{2} > \frac{13\pi}{6}\)

Substituindo t por 4 na inequação:

\(\frac{\beta \times 4}{2} – \frac{\pi}{2} > \frac{13\pi}{6}\)

\(\iff \beta \times 2 – \frac{\pi}{2} > \frac{13\pi}{6}\)

\(\iff \beta \times 2 > \frac{13\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\)

\(\iff \beta \times 2 > \frac{13\pi}{6} + \frac{3\pi}{6}\)

\(\iff \beta \times 2 > \frac{16\pi}{6} \)

\(\iff \beta > \frac{8\pi}{6}\)

\(\iff \beta > \frac{4\pi}{3}\)

Mas, o enunciado diz que podemos utilizar 3 como aproximação para \(\pi\). Então:

\(\beta > \frac{4\pi}{3}\)

\(\iff \beta > \frac{4\times 3}{3}\)

\(\iff \beta > 4\)

Conclusão: beta deve ser maior do que 4.

O enunciado diz que beta é um número inteiro positivo. O pedido do enunciado é:

“O menor valor inteiro a ser atribuído ao parâmetro \(\beta\), de forma que o motor a ser construído tenha boa potência”

Calculamos que beta deve ser maior que 4. Então, o menor inteiro que podemos atribuir ao beta é 5.

Resposta

Alternativa D

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