(ENEM 2019) Um ciclista quer montar um sistema de marchas usando dois discos dentados na parte traseira de sua bicicleta, chamados catracas. A coroa é o disco dentado que é movimentado pelos pedais da bicicleta, sendo que a corrente transmite esse movimento às catracas, que ficam posicionadas na roda traseira da bicicleta. As diferentes marchas ficam definidas pelos diferentes diâmetros das catracas, que são medidos conforme indicação da figura.
O ciclista já dispõe de uma catraca com 7 cm de diâmetro e pretende incluir uma segunda catraca, de modo que, à medida em que a corrente passe por ela, a bicicleta avance 50% a mais do que avançaria se a corrente passasse pela primeira catraca, a cada volta completa dos pedais.
O valor mais próximo da medida do diâmetro da segunda catraca, em centímetro e com uma casa decimal, é
A) 2,3
B) 3,5
C) 4,7
D) 5,3
E) 10,5
Resolução
O enunciado diz que a catraca tem 7 cm de diâmetro. O raio dessa catraca vale metade do diâmetro, ou seja, 7 / 2 = 3,5 cm.
Além disso, podemos calcular qual o comprimento da volta completa da catraca. Em um círculo de raio r, uma volta completa tem comprimento de 2.π.r. Logo, a volta completa da nossa catraca mede 2.π.3,5 = 7π.
Agora, vamos estudar com calma como é o funcionamento das partes de uma bicicleta.
Quando você pisa nos pedais, os pedais giram a coroa.
Com o giro da coroa, a corrente se movimenta.
Ao se movimentar, a corrente provoca o giro da catraca. E o giro da catraca faz a roda traseira da bicicleta girar.
Pelos nosso cálculos acima, se a corrente se movimenta um comprimento de 7π cm, esse movimento implica em um giro completo da catraca.
O enunciado fala também de uma segunda catraca. À medida em que a corrente passa pela segunda catraca, a bicicleta deve avançar 50% a mais do que avançaria se corrente passasse pela primeira catraca.
Bom, a gente já sabe que um movimento de 7π cm da corrente gera um giro completo da primeira catraca. Seguindo as condições do enunciado, a gente pode concluir o seguinte sobre a segunda catraca.
Um movimento de 7π cm da corrente deve gerar um giro e meio na segunda catraca.
Dessa forma, a bicicleta com a segunda catraca avança 50% mais do que com a primeira catraca.
Com essas informações, vamos calcular o raio R da segunda catraca.
Uma volta completa na segunda catraca tem comprimento 2.π.R. Meia volta na segunda catraca tem comprimento π.R. Logo, uma volta e meia tem comprimento de 2.π.R + π.R = 3.π.R.
Uma volta e meia da segunda catraca deve medir 7π cm. Assim, podemos montar a equação:
3.π.R = 7π
<=> 3.R = 7
<=> R = 7/3
Já temos o raio da segunda catraca, mas o enunciado pede o diâmetro. Beleza, agora ficou fácil, o diâmetro é o dobro do raio.
Diâmetro = 2.R = 2×7/3 = 14/3
Fazendo a conta, 14/3 é aproximadamente 4,67. A alternativa do enunciado que mais se aproxima desse valor é 4,7
Resposta
Alternativa C
Resolução ENEM 2019 – Matemática e suas Tecnologias
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